一般化調和数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 06:41 UTC 版)
n-番目の m-次一般化調和数 (generalized harmonic number) は H n , m = ∑ k = 1 n 1 k m {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}} で与えられる。n を無限大に飛ばした極限が存在するのは m > 1 の時に限られることに注意。一般化調和数を表す記号としては H n , m = H n ( m ) = H m ( n ) . {\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).} なども使われることがある。なお、m = 1 の場合が通常の調和数であり、添字 m を落として H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} と書く。また、n → ∞ の極限で一般化調和数はリーマンゼータ函数に収斂する。つまり lim n → ∞ H n , m = ζ ( m ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n,m}=\zeta (m)} が成り立つ。一般化調和数はベルヌーイ数を調べる際に現れ、またスターリング数を調べる際にも現れる。一般化調和数の母函数は ∑ n = 1 ∞ z n H n , m = Li m ( z ) 1 − z {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {{\mbox{Li}}_{m}(z)}{1-z}}} である。ここで Lim(z) は多重対数函数で |z| < 1 とする。この式で m = 1 としたものは、先に述べた調和数列の母函数に一致する。
※この「一般化調和数」の解説は、「調和数 (発散列)」の解説の一部です。
「一般化調和数」を含む「調和数 (発散列)」の記事については、「調和数 (発散列)」の概要を参照ください。
- 一般化調和数のページへのリンク
