一般化連続体仮説
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/17 02:16 UTC 版)
実閉体の特徴付けは一般化連続体仮説を仮定することを受け入れるならば非常に簡単になる。連続体仮説が満足されるならば、連続体濃度と η1-性質を持つ任意の実閉体は、互いに順序同型である。この意味で一意な実閉体 F は超冪の意味で RN/M と定義できる（ただし、M は R に順序同型な体を導かない極大イデアルとする）。これが超準解析においてもっとも一般的に用いられる超実数体であり、その一意性は連続体仮説に同値である。 さらに言えば、F の構成に超冪が必要というわけでもなく、より構成的に、濃度 ℵ1 の η1-群となる全順序可除アーベル群 G 上の形式冪級数体 R((G)) の、可算個の例外を除く全ての項が零であるような級数全体の成す部分体として構成することもできる。 しかしこの F は完備体ではなく、またそれに完備化を施して得られる体 K は濃度がより大きいものとなる。F が連続体濃度（いま仮定によりそれは ℵ1 である）を持てば、その完備化 K は濃度 ℵ2 で F を稠密部分体として含む。これは超冪のでないとはいえ、やはりこれは「超実体」であり、したがって超準解析で用いるに適した体である。これは実数体の高次元版とみることもできる。つまり、濃度が ℵ1 でなく ℵ2 で、共終数が ℵ0 でなく ℵ1 で、重みが ℵ0 でなく ℵ1 であり、η0-性質（これは単に任意の二実数の間に別の実数が存在することを言うもの）の代わりに η1- 性質を満たす。
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