一般化：局所 p-可積分函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/30 23:39 UTC 版)
「局所可積分函数」の記事における「一般化：局所 p-可積分函数」の解説
定義 3. Ω をユークリッド空間 ℝn 内のある開集合とし、f : Ω → ℂ をあるルベーグ可測函数とする。1 ≤ p ≤ +∞ を満たす与えられた p に対し、f が ∫ K | f | p d x < + ∞ {\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty } を満たすなら、f は局所 p-可積分あるいは p-局所可積分と呼ばれる。ただしこの条件は、f が Ω 内のすべてのコンパクト部分集合 K に対してLp(K)に属することを意味する。そのようなすべての函数の集合は Lp,loc(Ω) と記述される： L p , l o c ( Ω ) = { f : Ω → C measurable | f ∈ L p ( K ) , ∀ K ⊂ Ω , K compact } . {\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.} 前述の場合と同様に、代替的な定義も与えられ、それらは同値であることが示される。それらは高い一般性を備えるものであるように見えるが、局所 p-可積分函数は 1 < p ≤ +∞ を満たすすべての p に対して局所可積分函数の部分集合を形成する。
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