一般化固有ベクトルとは？わかりやすく解説

線型代数学において， $n \times n$ 行列 $A$ の広義（あるいは一般）固有ベクトル（こうぎこゆうベクトル，いっぱんこゆうベクトル，英: generalized eigenvector）は，（通常の）固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである^[1]．

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とする． $φ$ を $V$ から $V$ への線型写像とする． $A$ をある基底についての $φ$ の行列表示とする．

$V$ の完全な基底をなす $A$ の $n$ 個の線型独立な固有ベクトルがいつも存在するとは限らない．つまり，行列 $A$ は対角化可能とは限らない^[2]^[3]．これは少なくとも1つの固有値 $λ i$ の代数的重複度がその幾何学的重複度（行列 $A - λ i I$ の退化次数（英語版），あるいはその零空間の次元）よりも大きいときに起こる．この場合， $λ i$ は不足固有値（英語版）と呼ばれ， $A$ は不足行列（英語版）と呼ばれる^[4]．

$λ i$ に対応する広義固有ベクトル $x i$ は，行列 $A - λ i I$ とあわせて， $V$ の不変部分空間の基底をなす線型独立な広義固有ベクトルのジョルダン鎖を生成する^[5]^[6]^[7]．

広義固有ベクトルを用いて， $A$ の線型独立な固有ベクトルの集合を必要ならば $V$ の完全な基底に拡張できる^[8]．この基底は $A$ に相似なジョルダン標準形にある「ほとんど対角な行列」 $J$ を決定するのに用いることができ，これは $A$ のある行列関数（英語版）を計算するのに有用である^[1]．行列 $J$ は $A$ が対角化可能とは限らないときに線形微分方程式系 $x' = A x$ を解く際にも有用である^[9]^[3]．

概要と定義

（通常の）固有ベクトルを定義するいくつかの同値な方法がある^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]． $n \times n$ 行列 $A$ の固有値 $λ$ の固有ベクトル $x$ とは， $(λI - A) x = 0$ なる零でないベクトルである，ただし $I$ は $n \times n$ の単位行列であり， $0$ は $n$ 次元の零ベクトルである^[12]．つまり， $x$ は変換 $A - λI$ の核に属する． $A$ が $n$ 個の線型独立な固有ベクトルを持てば， $A$ は対角行列 $D$ に相似である．つまり，ある可逆行列 $M$ が存在して， $A$ は相似変換 $D = M -1 AM$ により対角化可能である^[18]^[19]．行列 $D$ は $A$ のスペクトル行列（英語版）と呼ばれる．行列 $M$ は $A$ のモード行列（英語版）と呼ばれる^[20]．対角化可能な行列は，その行列関数が容易に計算できるなどの特長がある^[21]．

一方， $n \times n$ 行列 $A$ が $n$ 個の線型独立な固有ベクトルを持たないとき， $A$ は対角化可能ではない^[18]^[19]．

定義: ベクトル $x m$ が行列 $A$ の固有値 $λ$ に対応する階数 $m$ の広義（あるいは一般）固有ベクトル (英: generalized eigenvector) であるとは， $(A-\lambda I)^{m}{\boldsymbol {x}}_{m}=0$

詳細は「ジョルダン標準形」を参照

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とする； $φ$ を $V$ から自身への線型写像全体の集合 $End(V)$ の元とする； $A$ をある基底に関する $φ$ の行列表示とする．次のことを示すことができる． $A$ の特性多項式 $f (λ)$ が一次式に分解して

f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}

の形，ただし $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ は $A$ の相異なる固有値，になれば，各 $μ i$ は対応する固有値 $λ i$ の代数的重複度であり， $A$ はジョルダン標準形の行列 $J$ に相似である，ただし各 $λ i$ は対角線上連続した $μ i$ 回現れ，各 $λ i$ の上（すなわち優対角（英語版））の各成分は 0 または 1 である；各 $λ i$ の最初の出現の上の成分はつねに 0 である．すべての他の成分は 0 である．行列 $J$ は $A$ の対角化にできるだけ近い． $A$ が対角化可能ならば，対角線の上のすべての成分は 0 である^[34]．教科書によっては優対角成分ではなく劣対角成分（英語版）, すなわち主対角線の直下に 1 たちがあることに注意．固有値はなお主対角線にある^[35]^[36]．

すべての $n \times n$ 行列 $A$ は相似変換 $J = M -1 AM$ によって得られるジョルダン標準形の行列 $J$ に相似である，ただし $M$ は $A$ の広義モード行列である^[37]。

例 5

A={\begin{bmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{bmatrix}}

に相似なジョルダン標準形の行列を見つけよ．

解： $A$ の特性方程式は $(λ - 2) 3 = 0$ であるので，固有値は $λ = 2$ （代数的重複度 $μ = 3$ ）である．前の節の手順に従って，

\operatorname {rank} (2I-A)=1

と

\operatorname {rank} (2I-A)^{2}=0=n-\mu

が分かる．したがって， $ρ 2 = 1$ と $ρ 1 = 2$ であり， $A$ の標準基底は階数 2 の1つの線型独立な広義固有ベクトルと階数 1 の2つの線型独立な広義固有ベクトルを含むことが分かる，あるいは同じことだが，2つのベクトルの1つの鎖 ${x 2, x 1}$ と1つのベクトルの1つの鎖 ${y 1}$ を含む． $M = (y 1 x 1 x 2)$ と書いて，次が分かる：

M={\begin{bmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{bmatrix}}

および

J={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}},

ただし $M$ は $A$ の広義モード行列で， $M$ の列は $A$ の標準基底で， $AM = MJ$ である^[38]．広義固有ベクトル自身は一意ではないから，また $M$ と $J$ の両方の列のいくつかは交換できるから， $M$ と $J$ はいずれも一意ではないことが従うことに注意^[39]．

例 6

例 4 において，行列 $A$ に対する線型独立な広義固有ベクトルの標準基底を求めた． $A$ の広義モード行列は

M={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {y}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{2}&{\boldsymbol {x}}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix}}

である． $A$ に相似なジョルダン標準形の行列は

J={\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{bmatrix}}

であり， $AM = MJ$ である。

応用

行列関数

詳細は「行列関数（英語版）」を参照

正方行列に実行できる最も基本的な演算の3つは，和とスカラー倍と積である^[40]．これらは $n \times n$ 行列 $A$ の多項式関数を定義するのにちょうど必要な演算である^[41]．多くの関数がマクローリン級数として書けることを基本的な解析学から思い出すと，行列のより一般の関数をきわめて容易に定義できる^[42]． $A$ が対角化可能ならば，つまり

D=M^{-1}AM

で

D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}

ならば，

D^{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{bmatrix}}

であり， $A$ の関数のマクローリン級数の計算は大きく単純化される^[43]．例えば， $A$ の任意の冪 $k$ を得るには， $D k$ を計算し， $M$ を左から掛け，さらに $M -1$ を右から掛けるだけでよい^[44]．

広義固有ベクトルを用いて， $A$ のジョルダン標準形を得ることができ，これらの結果は対角化可能でない行列の関数を計算する直截的手法に一般化できる^[45]．（行列関数#ジョルダン分解（英語版）を参照．）

微分方程式

詳細は「常微分方程式」を参照

次の線型常微分方程式系を解く問題を考える：

{\boldsymbol {x}}'=A{\boldsymbol {x}},

(5)

ただし

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {x}}'={\begin{bmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{bmatrix}},

および

A=(a_{ij})

行列 $A$ が対角行列で $i \neq j$ に対して $a ij = 0$ のとき，系 (5) は次の形の $n$ 個の方程式の系に簡約される：

$x_{1}'=a_{11}x_{1}$
$x_{2}'=a_{22}x_{2}$

\vdots

$x_{n}'=a_{nn}x_{n}$

(6)

この場合，一般解は次で与えられる：

x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}

x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}

\vdots

x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}

一般の場合には， $A$ を対角化し系 (5) を (6) のような系に以下のように簡約しようとする． $A$ が対角化可能ならば， $M$ を $A$ のモード行列として， $D = M -1 AM$ である． $A = MDM -1$ を代入して，方程式 (5) は次の形となる： $M^{-1}{\boldsymbol {x}}'=D(M^{-1}{\boldsymbol {x}}),$ あるいは

{\boldsymbol {y}}'=D{\boldsymbol {y}},

(7)

ただし

{\boldsymbol {x}}=M{\boldsymbol {y}}.

(8)

(7) の解は

y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}

y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}

\vdots

y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}

(5) の解 $x$ はすると関係式 (8) を用いて得られる^[46]

一方， $A$ が対角化可能でなければ， $M$ を $A$ の広義モード行列に選び， $J = M -1 AM$ を $A$ のジョルダン標準形とする．系 $y' = J y$ は次の形を持つ：

${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}\end{aligned}}$

(9)

ただし $λ i$ は $J$ の主対角成分にある固有値であり， $ε i$ は $J$ の優対角成分にある 1 と 0 である．系 (9) はしばしば (5) よりも容易に解かれる．(9) の最後の方程式を $y n$ に対して解いて， $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}$ を得る．次に $y n$ のこの解を (9) の最後から二番目の方程式に代入して， $y n - 1$ に対して解く．この手順を続けて，(9) を最後の方程式から最初までやり， $y$ に対する全体の系を解く．すると解 $x$ は関係式 (8) を用いて得られる^[47]．

脚注

[脚注の使い方]

^ ^a ^b ^c Bronson 1970, p. 189.
^ ^a ^b Beauregard & Fraleigh 1973, p. 310.
^ ^a ^b ^c ^d Nering 1970, p. 118.
^ Golub & Van Loan 1996, p. 316.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 319.
^ ^a ^b Bronson 1970, pp. 194–195.
^ Golub & Van Loan 1996, p. 311.
^ ^a ^b Bronson 1970, p. 196.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 316–318.
^ Anton 1987, pp. 301–302.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 266.
^ ^a ^b Burden & Faires 1993, p. 401.
^ Golub & Van Loan 1996, pp. 310–311.
^ Harper 1976, p. 58.
^ Herstein 1964, p. 225.
^ Kreyszig 1972, pp. 273, 684.
^ Nering 1970, p. 104.
^ ^a ^b Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 270–274.
^ ^a ^b Bronson 1970, pp. 179–183.
^ Bronson 1970, p. 181.
^ Bronson 1970, p. 179.
^ Bronson 1970, pp. 190, 202.
^ Bronson 1970, pp. 189, 203.
^ Bronson 1970, pp. 206–207.
^ ^a ^b Bronson 1970, p. 205.
^ Bronson 1970, pp. 189, 209–215.
^ Herstein 1964, p. 261.
^ Nering 1970, pp. 122, 123.
^ Bronson 1970, pp. 189–209.
^ Bronson 1970, pp. 196, 197.
^ Bronson 1970, pp. 197, 198.
^ Bronson 1970, pp. 190–191.
^ Bronson 1970, pp. 197–198.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 311.
^ Cullen 1966, p. 114.
^ Franklin 1968, p. 122.
^ Bronson 1970, p. 207.
^ Bronson 1970, p. 208.
^ Bronson 1970, p. 206.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 57–61.
^ Bronson 1970, p. 104.
^ Bronson 1970, p. 105.
^ Bronson 1970, p. 184.
^ Bronson 1970, p. 185.
^ Bronson 1970, pp. 209–218.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 274–275.
^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 317.

参考文献

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70-97490
Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66-21267
Franklin, Joel N. (1968), Matrix Theory, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, LCCN 68-16345
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76-91646

外部リンク

Stover, Christopher.. "Generalized Eigenvector". MathWorld (英語).
generalized eigenvector - PlanetMath.（英語）

[FOOTNOTEBronson1970189-1] Bronson 1970, p. 189.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973310-2] Beauregard & Fraleigh 1973, p. 310.

[FOOTNOTENering1970118-3] Nering 1970, p. 118.

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996316-4] Golub & Van Loan 1996, p. 316.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973319-5] Beauregard & Fraleigh 1973, p. 319.

[FOOTNOTEBronson1970194–195-6] Bronson 1970, pp. 194–195.

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996311-7] Golub & Van Loan 1996, p. 311.

[FOOTNOTEBronson1970196-8] Bronson 1970, p. 196.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973316–318-9] Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 316–318.

[FOOTNOTEAnton1987301–302-10] Anton 1987, pp. 301–302.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973266-11] Beauregard & Fraleigh 1973, p. 266.

[FOOTNOTEBurdenFaires1993401-12] Burden & Faires 1993, p. 401.

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996310–311-13] Golub & Van Loan 1996, pp. 310–311.

[FOOTNOTEHarper197658-14] Harper 1976, p. 58.

[FOOTNOTEHerstein1964225-15] Herstein 1964, p. 225.

[FOOTNOTEKreyszig1972273,_684-16] Kreyszig 1972, pp. 273, 684.

[FOOTNOTENering1970104-17] Nering 1970, p. 104.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973270–274-18] Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 270–274.

[FOOTNOTEBronson1970179–183-19] Bronson 1970, pp. 179–183.

[FOOTNOTEBronson1970181-20] Bronson 1970, p. 181.

[FOOTNOTEBronson1970179-21] Bronson 1970, p. 179.

[FOOTNOTEBronson1970190,_202-22] Bronson 1970, pp. 190, 202.

[FOOTNOTEBronson1970189,_203-23] Bronson 1970, pp. 189, 203.

[FOOTNOTEBronson1970206–207-24] Bronson 1970, pp. 206–207.

[FOOTNOTEBronson1970205-25] Bronson 1970, p. 205.

[FOOTNOTEBronson1970189,_209–215-26] Bronson 1970, pp. 189, 209–215.

[FOOTNOTEHerstein1964261-27] Herstein 1964, p. 261.

[FOOTNOTENering1970122,_123-28] Nering 1970, pp. 122, 123.

[FOOTNOTEBronson1970189–209-29] Bronson 1970, pp. 189–209.

[FOOTNOTEBronson1970196,_197-30] Bronson 1970, pp. 196, 197.

[FOOTNOTEBronson1970197,_198-31] Bronson 1970, pp. 197, 198.

[FOOTNOTEBronson1970190–191-32] Bronson 1970, pp. 190–191.

[FOOTNOTEBronson1970197–198-33] Bronson 1970, pp. 197–198.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973311-34] Beauregard & Fraleigh 1973, p. 311.

[FOOTNOTECullen1966114-35] Cullen 1966, p. 114.

[FOOTNOTEFranklin1968122-36] Franklin 1968, p. 122.

[FOOTNOTEBronson1970207-37] Bronson 1970, p. 207.

[FOOTNOTEBronson1970208-38] Bronson 1970, p. 208.

[FOOTNOTEBronson1970206-39] Bronson 1970, p. 206.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh197357–61-40] Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 57–61.

[FOOTNOTEBronson1970104-41] Bronson 1970, p. 104.

[FOOTNOTEBronson1970105-42] Bronson 1970, p. 105.

[FOOTNOTEBronson1970184-43] Bronson 1970, p. 184.

[FOOTNOTEBronson1970185-44] Bronson 1970, p. 185.

[FOOTNOTEBronson1970209–218-45] Bronson 1970, pp. 209–218.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973274–275-46] Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 274–275.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973317-47] Beauregard & Fraleigh 1973, p. 317.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]


	All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License. この記事は、ウィキペディアの広義固有ベクトル (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
	Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL). Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの量子力学の数学的定式化 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

一般化固有ベクトルとは？ わかりやすく解説

広義固有ベクトル