位置作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「位置作用素」の解説
定義 (掛け算作用素・位置作用素) ― 実数値可測関数 f : R d → R {\displaystyle f~:~\mathbf {R} ^{d}\to \mathbf {R} } に対して線形作用素Mfを M f : D o m ( M f ) → L 2 ( R 3 ) , {\displaystyle M_{f}~:~\mathrm {Dom} (M_{f})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),\quad } ψ ( x ) ↦ f ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto f(x)\psi (x)} と定義し、Mfの閉包を掛け算作用素という。ここで D o m ( M f ) := { ψ ( x ) ∈ L 2 ( R d ) : {\displaystyle \mathrm {Dom} (M_{f}):={\bigg \{}\psi (x)\in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})~:~} ∫ R d | f ( x ) ψ ( x ) | 2 d x < ∞ } {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}|f(x)\psi (x)|^{2}\operatorname {d} x<\infty {\bigg \}}} である。 特にj = 1,...,dでf(x)=xjという形の掛け算作用素を第j位置作用素という。 定理 ― 掛け算作用素は自己共役作用素である。 上記の定理は以下のように証明できる。可測性から C 0 ∞ ( R d ) ⊂ D o m ( M f ) {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\subset \mathrm {Dom} (M_{f})} なのでMfは稠密に定義された作用素であり、しかも明らかにMfは対称作用素である。さらに ϕ ∈ D o m ( M f ∗ ) {\displaystyle \phi \in \mathrm {Dom} (M_{f}{}^{*})} とすれば、任意の ψ ∈ D o m ( M f ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (M_{f})} に対し、 ⟨ χ , ψ ⟩ = ⟨ ϕ , M f ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle \chi ,\psi \rangle =\langle \phi ,M_{f}(\psi )\rangle } をみたすので、 ∫ R d χ ( x ) ψ ( x ) d x = ⟨ χ , ψ ⟩ {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\chi (x)\psi (x)\mathrm {d} x=\langle \chi ,\psi \rangle } = ⟨ ϕ , M f ( ψ ) ⟩ = ∫ R d f ( x ) ϕ ( x ) ψ ( x ) d x {\displaystyle =\langle \phi ,M_{f}(\psi )\rangle =\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\phi (x)\psi (x)\mathrm {d} x} である。 ψ ∈ D o m ( M f ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (M_{f})} の任意性より、これは χ ( x ) = f ( x ) ϕ ( x ) {\displaystyle \chi (x)=f(x)\phi (x)} a.eを意味する。χの自乗可積分性とDom(Mf)の定義より、 ϕ ∈ D o m ( M f ) {\displaystyle \phi \in \mathrm {Dom} (M_{f})} である。よってDom(Mf*)=Dom(Mf)であり、掛け算作用素Mjは自己共役作用素である。
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位置作用素
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位置作用素 X = x {\displaystyle X=x} と T ∈ S ′ ( R ) {\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} )} に対し、 X ′ ( T ) : ψ ∈ S ( R ) ↦ ⟨ T , X ( ψ ) ⟩ ∈ C {\displaystyle X'(T)~:~\psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )\mapsto \langle T,X(\psi )\rangle \in \mathbf {C} } とすると、 X ′ {\displaystyle X'} の一般化固有値λ対する一般化固有ベクトル T λ {\displaystyle T_{\lambda }} は λ ⟨ T λ , ψ ⟩ = ⟨ X ′ ( T λ ) , ψ ⟩ = ⟨ T λ , X ( ψ ) ⟩ = ⟨ T λ , x ψ ⟩ = ⟨ x T λ , ψ ⟩ {\displaystyle \lambda \langle T_{\lambda },\psi \rangle =\langle X'(T_{\lambda }),\psi \rangle =\langle T_{\lambda },X(\psi )\rangle =\langle T_{\lambda },x\psi \rangle =\langle xT_{\lambda },\psi \rangle } を満たすので、 λ T λ = x T λ {\displaystyle \lambda T_{\lambda }=xT_{\lambda }} デルタ関数の定数倍 T λ = c δ ( x − λ ) {\displaystyle T_{\lambda }=c\delta (x-\lambda )} がこの解になる事を簡単に確認でき、しかもこれ以外に解がない事も知られているF15(p120)。 以上の議論から X j {\displaystyle X_{j}} の一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は E ( λ ) = { c δ ( x − λ ) ∣ c ∈ C } {\displaystyle E(\lambda )=\{c\delta (x-\lambda )\mid c\in \mathbf {C} \}} である。これは一次元空間なので、 E ( λ ) ≃ C {\displaystyle E(\lambda )\simeq \mathbf {C} } である。したがって ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} に対し、 ψ ^ λ : T ∈ E ( λ ) ↦ ⟨ T , ψ ⟩ ∈ C {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }~:~T\in E(\lambda )\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf {C} } は、 ψ ^ λ ( c δ ( x − λ ) ) = ∫ R c δ ( x − λ ) ψ ( x ) d x = c ψ ( λ ) {\displaystyle {\hat {\psi }}_{\lambda }(c\delta (x-\lambda ))=\int _{\mathbf {R} }c\delta (x-\lambda )\psi (x)\mathrm {d} x=c\psi (\lambda )} である。すなわち c ∈ C → ∼ c δ ( x − λ ) {\displaystyle c\in \mathbf {C} {\overset {\sim }{\to }}c\delta (x-\lambda )} を ψ ( λ ) {\displaystyle \psi (\lambda )} 倍する写像である。したがって X {\displaystyle X} に関する ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の一般化フーリエ変換 ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }} は自然に { ψ ( λ ) } λ ∈ R {\displaystyle \{\psi (\lambda )\}_{\lambda \in \mathbf {R} }} と同一視でき、これは ψ {\displaystyle \psi } それ自身と同一視できる。よって X {\displaystyle X} に関する ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の一般化フーリエ変換は ψ {\displaystyle \psi } それ自身である。
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