運動量作用素のフーリエ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「運動量作用素のフーリエ変換」の解説
最後に、位置作用素と運動量作用素とがフーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。 そのためにより一般に微分作用素 D = ∑ α : | α | ≤ m ( − i ) | α | a α ∂ α ∂ α 1 x 1 ⋯ ∂ α d x d , {\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}(-i)^{|\alpha |}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}},} ∀ α : a α ∈ R {\displaystyle \forall \alpha ~:~a_{\alpha }\in \mathbf {R} } (の閉包作用素)を考え、多項式Fを F ( x 1 , … , x d ) = ∑ α : | α | ≤ m a α x 1 α 1 ⋯ x d α d {\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{d})=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}a_{\alpha }x_{1}{}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}{}^{\alpha _{d}}} と定義すると、以下が成立することが知られている新井(p198)： 定理 ― D = F − 1 ∘ M F ∘ F {\displaystyle D={\mathcal {F}}^{-1}\circ M_{F}\circ {\mathcal {F}}} ここでMFはFを乗じる掛け算作用素である。よって特に運動量作用素 P j = − i ℏ ∂ ∂ x j {\displaystyle P_{j}=-i\hbar {\partial \over \partial x_{j}}} （の閉包作用素）は以下を満たす： 系 ― P j = ℏ F − 1 ∘ M x j ∘ F {\displaystyle P_{j}=\hbar {\mathcal {F}}^{-1}\circ M_{x_{j}}\circ {\mathcal {F}}} xj倍する掛け算作用素は位置作用素であったことから、上式は換算プランク定数を除いて位置作用素と運動量作用素が移り合うことを意味する。
※この「運動量作用素のフーリエ変換」の解説は、「量子力学の数学的定式化」の解説の一部です。
「運動量作用素のフーリエ変換」を含む「量子力学の数学的定式化」の記事については、「量子力学の数学的定式化」の概要を参照ください。
- 運動量作用素のフーリエ変換のページへのリンク
