運動量の観点から
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:26 UTC 版)
「遷移双極子モーメント」の記事における「運動量の観点から」の解説
ゼロ磁場における質量mの単一の非相対論的粒子では、遷移双極子モーメントは以下の関係を使って運動量演算子の観点から書くことができる。 ⟨ ψ a | r | ψ b ⟩ = i ℏ ( E b − E a ) m ⟨ ψ a | p | ψ b ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{a}|\mathbf {r} |\psi _{b}\rangle ={\frac {i\hbar }{(E_{b}-E_{a})m}}\langle \psi _{a}|\mathbf {p} |\psi _{b}\rangle } この関係は、位置xとハミルトニアンHとの間の交換関係から始めて証明することができる。 [ H , x ] = [ p 2 2 m + V ( x , y , z ) , x ] = [ p 2 2 m , x ] = 1 2 m ( p x [ p x , x ] + [ p x , x ] p x ) = − i ℏ p x / m {\displaystyle [H,x]=[{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,y,z),x]=[{\frac {p^{2}}{2m}},x]={\frac {1}{2m}}(p_{x}[p_{x},x]+[p_{x},x]p_{x})=-i\hbar p_{x}/m} したがって ⟨ ψ a | ( H x − x H ) | ψ b ⟩ = − i ℏ m ⟨ ψ a | p x | ψ b ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{a}|(Hx-xH)|\psi _{b}\rangle ={\frac {-i\hbar }{m}}\langle \psi _{a}|p_{x}|\psi _{b}\rangle } しかしながら、ψaおよびψbがエネルギーEaおよびEbを持つエネルギー固有状態であると仮定すると、 ⟨ ψ a | ( H x − x H ) | ψ b ⟩ = ( ⟨ ψ a | H ) x | ψ b ⟩ − ⟨ ψ a | x ( H | ψ b ⟩ ) = ( E a − E b ) ⟨ ψ a | x | ψ b ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{a}|(Hx-xH)|\psi _{b}\rangle =(\langle \psi _{a}|H)x|\psi _{b}\rangle -\langle \psi _{a}|x(H|\psi _{b}\rangle )=(E_{a}-E_{b})\langle \psi _{a}|x|\psi _{b}\rangle } と書くこともできる。同様の関係はyおよびzについても成り立つ。
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