運動量作用素、軌道角運動量作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「運動量作用素、軌道角運動量作用素」の解説
定義 (運動量作用素) ― 線形作用素 P j : C 0 ∞ ( R d ) → L 2 ( R d ) , {\displaystyle P_{j}~:~C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}),\quad } ψ ( x ) ↦ − i ℏ ∂ ∂ x j ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto -i\hbar {\partial \over \partial x_{j}}\psi (x)} の閉包を第j運動量作用素という。 定理・定義 ― 各jに対し第j運動量作用素Pjは本質的に自己共役である。より一般に D = ∑ α : | α | ≤ m ( − i ) | α | a α ∂ α ∂ α 1 x 1 ⋯ ∂ α d x d , {\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}(-i)^{|\alpha |}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}},} ∀ α : a α ∈ R {\displaystyle \forall \alpha ~:~a_{\alpha }\in \mathbf {R} } …(A1) という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である新井(p198)。特に C 0 ∞ ( R d ) → L 2 ( R d ) , {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}),\quad } ψ ( x ) ↦ − i ℏ ( x k ∂ ∂ x j − x j ∂ ∂ x k ) ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto -i\hbar \left(x_{k}{\partial \over \partial x_{j}}-x_{j}{\partial \over \partial x_{k}}\right)\psi (x)} の閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。 (A1)の形の微分作用素Dが自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、Dが対称作用素である事は以下のように示すことができる。φ, ψ ∈C∞0(Rd)に対し、部分積分の公式から ⟨ − i ∂ j ϕ , ψ ⟩ = ∫ R d ( − i ∂ j ϕ ( x ) ) ∗ ψ ( x ) d x {\displaystyle \langle -i{\partial _{j}}\phi ,\psi \rangle =\int _{\mathbf {R} ^{d}}(-i{\partial _{j}}\phi (x))^{*}\psi (x)\mathrm {d} x} = i ∂ j ∫ R d ϕ ( x ) ψ ( x ) d x − ∫ R d ϕ ∗ ( x ) ( − i ∂ j ψ ( x ) ) d x = ⟨ ϕ , − i ∂ j ψ ⟩ {\displaystyle =i\partial _{j}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\phi (x)\psi (x)\mathrm {d} x-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\phi ^{*}(x)(-i{\partial _{j}}\psi (x))\mathrm {d} x=\langle \phi ,-i\partial _{j}\psi \rangle } である。(A1)の形の微分作用素は − i ∂ j {\displaystyle -i\partial _{j}} の実数係数多項式であるので、 ⟨ D ( ϕ ) , ψ ⟩ = ⟨ ϕ , D ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle D(\phi ),\psi \rangle =\langle \phi ,D(\psi )\rangle } が成立する。Dの定義域C∞0(Rd)は H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} で稠密だったので、これはDが対称作用素である事を意味する。
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