運動量作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「運動量作用素」の解説
運動量作用素 P = − i ℏ d d x {\displaystyle P=-i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}} が S ( R ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} と両立する事は既に述べた。 T ∈ S ′ ( R ) {\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} )} に対し、 P ′ ( T ) : ψ ∈ S ( R ) ↦ ⟨ T , P ( ψ ) ⟩ ∈ C {\displaystyle P{}'(T)~:~\psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )\mapsto \langle T,P(\psi )\rangle \in \mathbf {C} } とすると、一般化固有値λ対する P ′ {\displaystyle P'} の一般化固有ベクトル T λ {\displaystyle T_{\lambda }} は P ′ ( T λ ) = λ T λ {\displaystyle P'(T_{\lambda })=\lambda T_{\lambda }} を満たすので、任意の ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} に対し、 λ ⟨ T λ , ψ ⟩ = ⟨ P ′ ( T λ ) , ψ ⟩ = ⟨ T λ , P ( ψ ) ⟩ = − i ℏ ⟨ T λ , d d x ( ψ ) ⟩ = i ℏ ⟨ d d x T λ , ψ ⟩ {\displaystyle \lambda \langle T_{\lambda },\psi \rangle =\langle P'(T_{\lambda }),\psi \rangle =\langle T_{\lambda },P(\psi )\rangle =-i\hbar \langle T_{\lambda },{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(\psi )\rangle =i\hbar \langle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}T_{\lambda },\psi \rangle } となる。よって λ T λ = i ℏ d d x T λ {\displaystyle \lambda T_{\lambda }=i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}T_{\lambda }} という微分方程式の解が T λ {\displaystyle T_{\lambda }} となる。したがって T λ = c e − i λ x j / ℏ {\displaystyle T_{\lambda }=c\mathrm {e} ^{-i\lambda x_{j}/\hbar }} for some c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbf {C} } という形のものは全て解となる。ここで上式右辺は c e − i λ x j / ℏ {\displaystyle c\mathrm {e} ^{-i\lambda x_{j}/\hbar }} を乗じて積分する超関数を表す。またこれ以外に解がない事も知られているF15(p120)。 以上の議論から P {\displaystyle P} の一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は E ( λ ) = { c e − i λ x / ℏ ∣ c ∈ C } {\displaystyle E(\lambda )=\{c\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }\mid c\in \mathbf {C} \}} である。これは一次元空間なので、 E ( λ ) ≃ C {\displaystyle E(\lambda )\simeq \mathbf {C} } である。したがって ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} に対し、 ψ ^ λ : T ∈ E ( λ ) ↦ ⟨ T , ψ ⟩ ∈ C {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }~:~T\in E(\lambda )\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf {C} } は、 ψ ^ λ ( c e − i λ x / ℏ ) = ∫ R c e − i λ x / ℏ ψ ( x ) d x {\displaystyle {\hat {\psi }}_{\lambda }(c\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar })=\int _{\mathbf {R} }c\mathrm {e} ^{-i\lambda x_{/}\hbar }\psi (x)\mathrm {d} x} である。すなわち c ∈ C → ∼ c e − i λ x / ℏ {\displaystyle c\in \mathbf {C} {\overset {\sim }{\to }}c\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }} を ∫ R e − i λ x / ℏ ψ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }\psi (x)\mathrm {d} x} 倍する写像である。したがって P {\displaystyle P} に関する ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の一般化フーリエ変換 ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }} は自然に { ∫ R e − i λ x / ℏ ψ ( x ) d x } λ ∈ R {\displaystyle \left\{\int _{\mathbf {R} }\mathrm {e} ^{-i\lambda x/\hbar }\psi (x)\mathrm {d} x\right\}_{\lambda \in \mathbf {R} }} と同一視できる。これは ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} をフーリエ変換したものに相当する。これが ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }} を一般化フーリエ変換と呼ぶ理由であるF15(p120)。
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