運動量保存則
運動量保存則（うんどうりょうほぞんそく、英: law of momentum conservation）とは、ある系に外力が働かない限り（閉鎖系）、その系の運動量の総和（全運動量）は不変であるという物理法則（保存則）である。運動量保存の法則ともいう。
最初、デカルトが『哲学原理』の中で質量と速さの積の総和を神から与えられた不変量として記述したが、ベクトルを用いて現在の形の運動量とその保存則を導いたのはホイヘンスである[1]。 外力が働かない問題の例としては、物体の衝突問題がある。二体の衝突問題は、エネルギー保存の法則と運動量保存則を考えることで解くことができる。完全弾性衝突のときのみ物体の運動エネルギーは保存される。一方、完全弾性衝突に限らず外力が働かない限り、運動量は保存される。
運動量保存則と運動方程式
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運動量保存
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 08:24 UTC 版)
「レイリー・プレセット方程式」の記事における「運動量保存」の解説
液体がニュートン流体であると仮定すると、極座標における半径方向の運動に対する非圧縮性ナビエ-ストークス方程式は ρ L ( ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ r ) = − ∂ P ∂ r + μ L [ 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ u ∂ r ) − 2 u r 2 ] {\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]} と与えられる。動粘度 ν L = μ L ρ L {\displaystyle \nu _{L}={\frac {\mu _{L}}{\rho _{L}}}} を代入し変形すると − 1 ρ L ∂ P ∂ r = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ r − ν L [ 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ u ∂ r ) − 2 u r 2 ] {\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]} ここで質量保存から求めた u ( r , t ) {\displaystyle u(r,t)} を代入し、 − 1 ρ L ∂ P ∂ r = 2 R r 2 ( d R d t ) 2 + R 2 r 2 d 2 R d t 2 − 2 R 4 r 5 ( d R d t ) 2 = 1 r 2 ( 2 R ( d R d t ) 2 + R 2 d 2 R d t 2 ) − 2 R 4 r 5 ( d R d t ) 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}} を得る。代入の過程で粘性項が消えたことに注意する。変数分離して、気泡の境界 r = R {\displaystyle r=R} から r → ∞ {\displaystyle r\rightarrow \infty } まで積分 − 1 ρ L ∫ P ( R ) P ∞ d P = ∫ R ∞ [ 1 r 2 ( 2 R ( d R d t ) 2 + R 2 d 2 R d t 2 ) − 2 R 4 r 5 ( d R d t ) 2 ] d r {\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}\mathrm {d} P=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathrm {d} r} を求めると P ( R ) − P ∞ ρ L = [ − 1 r ( 2 R ( d R d t ) 2 + R 2 d 2 R d t 2 ) + R 4 2 r 4 ( d R d t ) 2 ] R ∞ = R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 {\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}} が得られる。
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