角運動量保存の法則の証明 （1つの質点の場合）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 20:49 UTC 版)
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1つの質点の角運動量 L = r × p {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}} の時間変化（時間微分）は以下の式のようになる。 d L d t = d r d t × p + r × d p d t . {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\boldsymbol {p}}+{\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}.} ここで、 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} は質点の位置ベクトル、 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} は運動量、 t {\displaystyle t} は時間である。右辺第一項は、 d r d t × p = v × m v = m v × v = 0 . {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {v}}\times m{\boldsymbol {v}}=m{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}.} すなわち、速度 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} どうしの外積なので 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} となる。よって、 d L / d t {\displaystyle d{\boldsymbol {L}}/dt} は次のようになる。 d L d t = r × d p d t = r × F . {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}.} ここで、 r × F {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}} は、外力 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} によるトルク (力のモーメント)である。また、運動方程式 d p / d t = F {\displaystyle d{\boldsymbol {p}}/dt={\boldsymbol {F}}} を使った。この式の意味するところは、角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しいということである。これにより、以下のことが分かる。 もし外力がなければ、すなわち F = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}} ならば、当然 r × F = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}} であり、角運動量は保存される。 外力が r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} と平行の場合、 r × F = 0 , {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}},} すなわちトルクが 0 となって、角運動量は L = const. {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\mbox{const.}}} （一定）となり、保存される。 よって、質点に外力がまったく働かないか、あるいは外力が位置ベクトルに平行(トルクが 0)であるならば、その質点の角運動量は保存される。 次に角運動量保存の証明を質点円回転運動を一つの事例として行う。 まず、質点の質量をm、速度をv、回転半径をrとすると、質点mへの遠心力はmv2/rとなる。半径rがΔr変化した際に質点mの速度vがΔv変化したとすると、エネルギー保存則より m v 2 r × Δ r + 1 2 m ( v + Δ v ) 2 = 1 2 m v 2 ⇔ m v 2 r × Δ r + m v Δ v + 1 2 m ( Δ v ) 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {mv^{2}}{r}}\times \Delta r+{\frac {1}{2}}m(v+\Delta v)^{2}&={\frac {1}{2}}mv^{2}\\\Leftrightarrow {\frac {mv^{2}}{r}}\times \Delta r+mv\Delta v+{\frac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}&=0\end{aligned}}} ( Δ v ) 2 ≈ 0 {\displaystyle (\Delta v)^{2}\approx 0} として左辺第3項を無視すると、 Δ r r = − Δ v v {\displaystyle {\frac {\Delta r}{r}}=-{\frac {\Delta v}{v}}} となる。Δ項を無限小化して両辺を積分すると、 ∫ d r r = − ∫ d v v ln r = − ln v + C r v = C ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dr}{r}}&=-\int {\frac {dv}{v}}\\\ln r&=-\ln v+C\\rv&=C'\end{aligned}}} 以上より、mvrが一定になり、角運動量保存がエネルギー保存則から導かれる。 尚、ここまでは質点mの円回転について考察したが、半径rをベクトルr、速度vをベクトルvとすれば、楕円回転に対してもr×v = rv⊥（但しv⊥はvのrに対する垂直成分）となる為、本来のベクトル定義の角運動量r×mvについても保存されると言える。
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角運動量保存の法則の証明 （質点系, つまり複数の質点の場合）
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n 個の質点を考える。i 番目の質点を「質点i」と呼ぶ。質点 i に関する量を添字 i で表す。前項より、質点 i の角運動量について以下が成り立つ: d L i d t = r i × F i {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{i}}}} 質点iに働く力 F i {\displaystyle {\boldsymbol {F_{i}}}} は, 以下のように表される: F i = ∑ j F i j + F i e . {\displaystyle {\boldsymbol {F_{i}}}=\sum _{j}{\boldsymbol {F_{ij}}}+{\boldsymbol {F_{i}^{e}}}.} ここで、 F i j {\displaystyle {\boldsymbol {F_{ij}}}} は質点 j が質点 i に及ぼす力(内力)であり、 F i e {\displaystyle {\boldsymbol {F_{i}^{e}}}} は質点 i におよぶ外力である。これを上式に代入し、i について総和をとれば、 ∑ i d L i d t = ∑ i r i × ( ∑ j F i j + F i e ) = ∑ i ∑ j r i × F i j + ∑ i r i × F i e {\displaystyle \sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {L}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r_{i}}}\times (\sum _{j}{\boldsymbol {F_{ij}}}+{\boldsymbol {F_{i}^{e}}})=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{ij}}}+\sum _{i}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{i}^{e}}}} となる。右辺第一項は、作用反作用の法則( F i j = − F j i {\displaystyle {\boldsymbol {F_{ij}}}=-{\boldsymbol {F_{ji}}}} )より、次式のようになる: ∑ i ∑ j r i × F i j = ∑ i < j ( r i − r j ) × F i j . {\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{ij}}}=\sum _{i<j}{({\boldsymbol {r_{i}}}-{\boldsymbol {r_{j}}})}\times {\boldsymbol {F_{ij}}}.} ここで, もし内力が中心力ならば（すなわち, 質点同士が互いに及ぼす力が, 両者を結ぶ直線上にあるならば）, r i − r j {\displaystyle {\boldsymbol {r_{i}}}-{\boldsymbol {r_{j}}}} と F i j {\displaystyle {\boldsymbol {F_{ij}}}} は互いに平行であるので, (外積の性質より)この式の ∑ {\displaystyle \sum } の中は 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} になる。つまりこの式は 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} になる。従って, d d t ∑ i L i = ∑ i r i × F i e {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}{\boldsymbol {L}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{i}^{e}}}} となる。すなわち, 質点系の全角運動量の時間変化(左辺)は, 質点系に外力が及ぼす全トルク(右辺)に等しい。
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