角運動量演算子の同時固有ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/03 23:08 UTC 版)
「クレブシュ–ゴルダン係数」の記事における「角運動量演算子の同時固有ベクトル」の解説
上記の定義から分かるように、 j ^ 2 {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}} は j ^ x {\displaystyle {\hat {j}}_{x}} 、 j ^ y {\displaystyle {\hat {j}}_{y}} 、 j ^ z {\displaystyle {\hat {j}}_{z}} と交換する。 [ j ^ 2 , j ^ k ] = 0 ( k = x , y , z ) {\displaystyle [\mathbf {\hat {j}} ^{2},{\hat {j}}_{k}]=0\quad \quad (k=x,y,z)} ２つのエルミート演算子が交換する場合、同時固有ベクトルが存在する。 j ^ 2 {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}} と j ^ z {\displaystyle {\hat {j}}_{z}} は交換するので、それらの同時固有ベクトルを | j m ⟩ {\displaystyle |j\,m\rangle } とすると以下を満たす。 j ^ 2 | j m ⟩ = ℏ 2 j ( j + 1 ) | j m ⟩ ( j = 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , … ) {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}|j\,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle \quad \quad (j=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},2,\ldots )} j ^ z | j m ⟩ = ℏ m | j m ⟩ ( m = − j , − j + 1 , … , j . ) {\displaystyle {\hat {j}}_{z}|j\,m\rangle =\hbar m|j\,m\rangle \quad \quad \quad \quad \quad (m=-j,-j+1,\ldots ,j.)} m {\displaystyle m\ } の値は昇降演算子で変化する。 j ^ ± | j m ⟩ = C ± ( j , m ) | j m ± 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {j}}_{\pm }|j\,m\rangle =C_{\pm }(j,m)|j\,m\pm 1\rangle } ここで C ± ( j , m ) = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) = ( j ∓ m ) ( j ± m + 1 ) {\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}} 位相因子は C ± ( j , m ) {\displaystyle C_{\pm }(j,m)} の定義に含まれている。位相則はコンドン-ショートレーの位相則に従っている。 角運動量演算子はエルミート演算子なので固有状態（固有ベクトル）は完全系をなす。固有状態は以下のように規格直行化されているとする。 ⟨ j 1 m 1 | j 2 m 2 ⟩ = δ j 1 , j 2 δ m 1 , m 2 {\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}|j_{2}\,m_{2}\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},m_{2}}}
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