運動量密度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 02:45 UTC 版)
実空間の波動関数をフーリエ変換して（指標 i, k は省略、V：系の体積）、 ψ ( G ) = 1 V ∫ ψ ( r ) e − i G ⋅ r d r {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {G}})={\frac {1}{V}}\int \psi ({\boldsymbol {r}})e^{-i{\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {r}}}d{\boldsymbol {r}}} を得る。ψ(G) は逆格子空間（運動量空間）での波動関数であり、これのノルムをとると、 P ( G ) = | ψ ( G ) | 2 {\displaystyle P({\boldsymbol {G}})=|\psi ({\boldsymbol {G}})|^{2}} となり、上式左辺の P(G) は逆格子空間での電荷密度と言えるが、通常は運動量密度(momentum density)と呼ばれる。 運動量密度は、コンプトン散乱や電子‐陽電子消滅実験などの実験によって観測される量で、対象が金属（含む半金属）の場合、フェルミ面の情報を含んでいる。 自由電子の場合の運動量密度 ρ(P) は、自由電子の実空間（3次元）での波動関数 ψ が平面波 e − i k ⋅ r {\displaystyle e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}} であるから、 ∬ e − i G ⋅ ( r − r ′ ) e i k ⋅ ( r − r ′ ) d r d r ′ = ∬ e − i ( G − k ) ⋅ ( r − r ′ ) d r d r ′ = δ ( G − k ) = ρ k ( G ) {\displaystyle \iint e^{-i{\boldsymbol {G}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r'}}=\iint e^{-i({\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {k}})\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'=\delta ({\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {k}})=\rho _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {G}})} となり（体積は省略）、 ρ ( G ) = ∑ k ρ k ( G ) = ∑ | k | ≤ k F f k ρ k ( G ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {G}})=\sum _{\boldsymbol {k}}\rho _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {G}})=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|\leq k_{F}}f_{\boldsymbol {k}}\rho _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {G}})} を得る（fk はフェルミ分布関数←電荷密度での占有数と表記が類似するが異なるものである）。実際は、2次元ないし 1次元表示したものが実験による観測結果と比較される。 2次元表示 ρ ( G y , G z ) = ∫ ρ ( G ) d G x = ∫ G x 2 ≤ G F 2 − G y 2 − G z 2 d G x = 2 G F 2 − G y 2 − G z 2 . {\displaystyle \rho (G_{y},G_{z})=\int \rho ({\boldsymbol {G}})dG_{x}=\int _{G_{x}^{2}\leq G_{F}^{2}-G_{y}^{2}-G_{z}^{2}}dG_{x}=2{\sqrt {G_{F}^{2}-G_{y}^{2}-G_{z}^{2}}}.} 1次元表示 ρ ( G z ) = ∬ ρ ( G ) d G x d G y = ∬ G x 2 + G y 2 + G z 2 ≤ G F 2 d G x d G y = G F 2 − G z 2 . {\displaystyle \rho (G_{z})=\iint \rho ({\boldsymbol {G}})dG_{x}dG_{y}=\iint _{G_{x}^{2}+G_{y}^{2}+G_{z}^{2}\leq G_{F}^{2}}dG_{x}dG_{y}=G_{F}^{2}-G_{z}^{2}.} 以上から、3次元での自由電子の運動量密度の2次元表示は半球状、1次元表示は放物線となる。実際に観測されるものは、アルカリ金属のような価電子が自由電子的であるような場合を除いて自由電子のものとは大分異なった形状になることが多い。
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