エネルギーと運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 21:58 UTC 版)
「古典電磁気学の共変定式」の記事における「エネルギーと運動量」の解説
詳細は「エネルギー・運動量密度」を参照 電磁応力 - エネルギーテンソルは、運動量4元ベクトルの流束密度と解釈することができ、全体の応力 - エネルギーテンソルに対する電磁場の寄与である反変対称テンソルである。 T α β = ( ϵ 0 E 2 / 2 + B 2 / 2 μ 0 S x / c S y / c S z / c S x / c − σ x x − σ x y − σ x z S y / c − σ y x − σ y y − σ y z S z / c − σ z x − σ z y − σ z z ) , {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,} ε0は真空の誘電率、μ0は真空の透磁率。ポインティング・ベクトルは S = 1 μ 0 E × B {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} } と表され、マクスウェルの応力テンソルは以下で与えられる。 σ i j = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − ( 1 2 ϵ 0 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 ) δ i j . {\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.} 電磁場テンソルFは次式により電磁応力 - エネルギーテンソルTを構築する。 T α β = 1 μ 0 ( η γ ν F α γ F ν β + 1 4 η α β F γ ν F γ ν ) {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta _{\gamma \nu }F^{\alpha \gamma }F^{\nu \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)} ηはミンコフスキー計量テンソル（符号+−−−）。次の事実を用いる。 ϵ 0 μ 0 c 2 = 1 , {\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,} これはマクスウェル方程式により予測されるものである。
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