古典電磁気学の共変定式

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古典電磁気学の共変定式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/05 10:57 UTC 版)

古典電磁気学の共変定式（こてんでんじきがくのきょうへんていしき）は、古典電磁気学の法則（特にマクスウェル方程式とローレンツ力）をローレンツ変換のもとで明白に不変な形で、ユークリッド座標系の慣性系を使った特殊相対論の形式で書く方法を指す。これらの表現はともに古典電磁気学の法則がどの慣性座標系でも同じ形をとるということを証明するのを容易にし、場と力をある基準系から別の基準系へ変換する方法を提供してくれる。曲がった時空の場合や非ユークリッド座標系の場合はここでは対象外とする（曲がった時空の場合は 曲がった時空のマクスウェル方程式（英語版） を参照）。

この記事はテンソルの古典的扱いとアインシュタインの縮約記法をいたるところで使っており、ミンコフスキー計量はdiag (-1, +1, +1, +1)という形式を取る^{[疑問点 – ノート]}。方程式が真空中で成り立つものと明示されている場合、代わりに（分極電荷や磁化電流を含む）総電荷・総電流に関するマクスウェル方程式の定式化と見てもよい（参照: マクスウェルの方程式#一般の媒質中）。

共変形式での定式化の様々な概念的な意味を含む、古典電磁気学と特殊相対論の間の関係のより一般的な概要については古典電磁気学と特殊相対性理論（英語版）を参照。

共変的な物理量

ニュートン的な物理量はユークリッド空間における回転変換の下での変換性によってスカラー量やベクトル量、テンソル量として区別されていたが、相対論的なミンコフスキー時空においてはローレンツ変換の下での変換性によってスカラー量やベクトル量、テンソル量として区別される。 ローレンツ変換の下でのベクトル量 V は4元ベクトルと呼ばれる。4元ベクトル V はニュートン的な空間におけるベクトル V と、対応するスカラー v の組が

${\displaystyle V^{\mu }=(V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})=(v,{\boldsymbol {V}})}$

運動している（電荷qの）荷電粒子に対するローレンツ力 f （瞬間速度 v)。E場およびB場は空間および時間で異なる。

電磁場と相互作用する古典的な荷電粒子系を考えると、電磁場と荷電粒子の相互作用項は

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\left(\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda \right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}}$

運動中の連続電荷分布(charge density ρ)における空間体積fあたりのローレンツ力

空間部分がローレンツ力である電磁気による力の密度は、次で与えられる。

${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}$ カテゴリ

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