マクスウェル‐の‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【マクスウェルの方程式】
マクスウェルの方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/25 06:38 UTC 版)
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マクスウェルの方程式（マクスウェルのほうていしき、英: Maxwell's equations、マクスウェル方程式とも）は、電磁場を記述する古典電磁気学の基礎方程式。マイケル・ファラデーが幾何学的考察から見出した電磁力に関する法則を、1864年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって数学的形式として整理した[1]。
日本語ではマクスウェルの名前の表記揺れによりマックスウェルの方程式とも表記される。また、マクスウェル-ヘルツの電磁方程式、電磁方程式などとも呼ばれる。
それまでの知られていた法則がマクスウェルの方程式として整理されたことから、電場と磁場の統一（電磁場）、光が電磁波であることなどが導かれた。
また、アインシュタインは特殊相対性理論の起源はマクスウェルの電磁場方程式である旨を明言している。
マクスウェルが導出した当初の方程式はベクトルの各成分をあたかも互いに独立な量であるかのように別々の文字で表して書かれており、現代の洗練された形式ではなかった。ヘヴィサイドは1884年にベクトル解析の記法を用いて書き直した。現在ではヘヴィサイトによる形により知られている。また、ヘヴィサイトは電磁ポテンシャルを消去出来ることも示したが、その意義は直ちには認めらなかった。
ベクトル記法が一般化し始めるのは 1890年代半ばであって、ヘルツの論文ではまだそれを使っていない。いずれにせよ、このベクトル解析の記法の採用は場における様々な対称性を一目で見ることを可能にし、物理現象の理解に大いに役立った[2]。
真空中の電磁気学に限れば、マクスウェルの方程式の一般解は、ジェフィメンコ方程式として与えられる。
電磁気学の単位系は国際単位系のほかガウス単位系などがあり、マクスウェルの方程式における係数は単位系によって異なる。以下では原則として国際単位系を用いる。
4つの方程式
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マクスウェルの方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 08:26 UTC 版)
ディラックによれば、「磁気単極子の存在」を仮定した場合、マクスウェルの方程式は次のようになる。 { ∇ ⋅ B = ρ m ∇ × E = − ( ∂ B ∂ t + J m ) ∇ ⋅ D = ρ e ∇ × H = J e + ∂ D ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}&=\rho _{\mathrm {m} }\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}&=-\left({\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {J}}_{\mathrm {m} }\right)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}&=\rho _{\mathrm {e} }\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}&={\boldsymbol {J}}_{\mathrm {e} }+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\end{aligned}}\end{cases}}} あるいは電磁ポテンシャルを使えば次のようになる。(簡単のためローレンツゲージをとる) E = − ∇ ϕ e − ∂ A e ∂ t − 1 ε 0 ∇ × A m H = − ∇ ϕ m − ∂ A m ∂ t + 1 μ 0 ∇ × A e {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}&=-\nabla \phi _{e}-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {e} }}{\partial t}}-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\nabla \times {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {m} }\\{\boldsymbol {H}}&=-\nabla \phi _{m}-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {m} }}{\partial t}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {e} }\end{aligned}}} { ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ϕ e = − ρ e ε 0 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ϕ m = − ρ m μ 0 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) A e = − μ 0 J e ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) A m = − ε 0 J m {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\phi _{\mathrm {e} }&=-{\dfrac {\rho _{\mathrm {e} }}{\varepsilon _{0}}}\\\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\phi _{\mathrm {m} }&=-{\dfrac {\rho _{\mathrm {m} }}{\mu _{0}}}\\\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\boldsymbol {A}}_{\mathrm {e} }&=-\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{\mathrm {e} }\\\left(\nabla ^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\boldsymbol {A}}_{\mathrm {m} }&=-\varepsilon _{0}{\boldsymbol {J}}_{\mathrm {m} }\end{aligned}}\end{cases}}} 磁気単極子は陽子の 10 16 {\displaystyle 10^{16}} 倍程度の質量を持ち、磁気単極子の磁荷 g {\displaystyle g} は次式で表される。 g = n h e {\displaystyle g={\frac {n\mathrm {h} }{\mathrm {e} }}} ここで h {\displaystyle \mathrm {h} } はプランク定数、 e {\displaystyle \mathrm {e} } は素電荷、 n {\displaystyle n} は任意の整数である。またこの関係式を「ディラックの量子化」と呼ぶ。 このとき磁荷 g {\displaystyle g} が電磁場から受ける力 F {\displaystyle F} は F = g ( H − v × D ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=g({\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}})} と書ける。
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