長さの収縮

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長さの収縮

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/19 07:54 UTC 版)

長さの収縮（ながさのしゅうしゅく、length contraction) は、運動する物体の長さが、自身の静止系で測定される長さである固有長(proper length)よりも短く測定される現象^[1]。ローレンツ収縮やローレンツ・フィッツジェラルド収縮（ヘンドリック・ローレンツとジョージ・フィッツジェラルドにちなむ）とも呼ばれる。物体が進んでいる方向のみに生じる。普通の物体ではこの効果は日常的な速度では無視でき、物体が観察者に対して光速に近づくときのみ重要となる。

歴史

詳細は「特殊相対性理論の歴史（英語版）」を参照

長さの収縮は、マイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明し、静止エーテルの仮説を救うためにジョージ・フィッツジェラルド(1889)とヘンドリック・ローレンツ(1892)により仮定された（ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説）^[2][3]。フィッツジェラルドとローレンツの両者は、運動する電荷がつくる電場が変形するという事実に言及したが（オリヴァー・ヘヴィサイドにちなむヘヴィサイド楕円体、ヘヴィサイドは1888年に電磁理論からこれを導出した）、当時分子間力が電磁力と同じふるまい方をすると推測するに十分な理由がなかったため、長さの収縮はアドホックな仮説と見なされた。1897年、ジョゼフ・ラーモアが全ての力が電磁気的な起源を持つと考えられるモデルを開発し、長さの収縮はこのモデルの直接的な結果として現れた。しかしアンリ・ポアンカレ(1905)により電磁気力だけでは電子の安定性を説明できないことが示された。そのため彼は別のアドホックな仮説を導入しなければならなかった。それは非電気的結合力（ポアンカレ応力）であり、これを用いてポアンカレは電子の安定性を確実にし、長さの収縮を動力学的に説明し、それにより静止エーテルに対する運動を覆い隠した^[4]。

最終的には、アルベルト・アインシュタイン(1905)が、仮想的なエーテルの中を動く運動を用いずに、特殊相対性理論を使うことでこの収縮を説明し、我々の空間、時間、同時性の概念を変え、収縮仮説からアドホックな特徴を初めて^[4]完全に取り除いた^[5]。アインシュタインの考えは、自身の4次元時空の概念を導入することで全ての相対論的効果の幾何学的解釈を論証したヘルマン・ミンコフスキーによりさらに洗練された^[6]。

相対性理論の基礎

特殊相対性理論においては、観測者は同期する時計の無限格子造りに対して事象を測定する。

初めに静止している物体と動いている物体の長さを測定する方法を慎重に検討する必要がある^[7]。ここで「物体」とは常に相互に静止している、すなわち同じ慣性系で静止している端点を持つ距離を意味するだけである。観測者（もしくは測定器）と観測される物体との間の相対速度がゼロであれば、物体の固有長${\displaystyle L_{0}}$

長さの収縮: 3本の青の棒がSで静止し、3本の赤の棒がS'で静止している。AとDの左端がxの軸上で同じ位置に着いた瞬間、それぞれの棒の長さを比較する。SではAの左側とCの右側の同時位置はDとFのそれより離れているが、S'ではDの左側とFの右側の同時位置はAとCのそれより離れている。

観測者はポアンカレ・アインシュタイン同期に従い光信号を交換するか(a)、「スロークロック輸送」（1つの時計がすなわち1つの時計が消える輸送速度の限界で時計の列に沿って輸送される）(b)のどちらかにより同期された時計の列をinstallする。同期処理が終了すると、物体は時計の列に沿って移動され、全ての時計が物体の左端もしくは右端が通過した正確な時間を記憶する。その後、観測者は物体の左端が通過した時刻を記憶している時計Aと、物体の右端が「同時に」通過した時刻を記憶する時計Bの位置を見るだけで良い。距離ABが運動した物体の長さ${\displaystyle L}$

アインシュタインが1911年に行った長さの収縮の思考実験のミンコフスキーダイアグラム。静止長${\displaystyle A'B'=A''B''=L_{0}}$

ライデンの壁に描かれた式

長さの収縮は、座標系にしたがい同時に位置を測定することである。これは高速で動く物体の写真を撮ることができれば、物体が運動方向に収縮していることをその写真により示すことができることを示唆しているかもしれない。しかし、このような視覚効果は写真が遠くから撮影されるため、測定値と全く異なり、長さの収縮は物体の端点の正確な位置でのみ直接測定できる。ロジャー・ペンローズやJames Terrellらにより運動する物体は普通、写真においては長さが収縮して見えないことが示された^[23]。この結果はPhysics Todayのarticleでヴィクター・ワイスコフにより一般化された^[24]。例えば、小さな角直径の場合、運動する球体は円形のまま回転している^[25]。この種の視覚的な回転効果はPenrose-Terrell回転と呼ばれる^[26]。

導出

ローレンツ変換を用いる場合

長さの収縮はローレンツ変換からいくつかの方法により導出できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)\end{aligned}}}$

ユークリッドおよびミンコフスキー時空の直方体

幾何学的な考察を加えると、長さの収縮は三角法の現象とみなすことができ、E³における回転の前後に直方体を通る平行な切片に類似している（右の左半分の図参照）。これはE^1,2の直方体を押し上げるユークリッド的な類似である。しかし、後者の場合は押し上げられた直方体を動く板の世界スラブ(world slab)と解釈することができる。

画像: 左: 3次元ユークリッド空間E³で回転した直方体。断面は回転前よりも回転方向に長くなっている。右: ミンコフスキー時空（1つの空間次元が隠された）E^1,2にある動く薄板の世界スラブで、押し上げられた直方体。押し上げられた方向の断面がその前よりも薄くなっている。いずれの場合も横方向は影響を受けず、直方体のそれぞれの隅で重なる3つの平面は相互に直交している（右はE^1,2の意味で、左はE³の意味で）。

特殊相対性理論では、ポアンカレ変換はアフィン変換の1つであり、慣性運動の代わりの状態（および原点の選び方の違い）に対応するミンコフスキー時空上の代わりのデカルト座標図の間の変換として特徴づけられる。ローレンツ変換は線形変換である（原点を維持する）ポアンカレ変換である。ローレンツ変換は、ミンコフスキー幾何学では、ユークリッド幾何学で回転がする役割と同じ役割をする（ローレンツ群は時空の自己等長の等方群を形成する）。実際、特殊相対性理論は以下の表で示されるように、主にミンコフスキー時空の一種の非ユークリッド三角法を勉強することに帰着する。

3つの平面三角法

三角法	円	放物線	双曲線
クライン幾何学	ユークリッド平面	ガリレオ平面	ミンコフスキー平面
記号	E2	E0,1	E1,1
二次形式	正定値	退化	非退化であるが非定義
等長群	E(2)	E(0,1)	E(1,1)
等方群	SO(2)	SO(0,1)	SO(1,1)
等方性の種類	回転(rotations)	shears	boosts
Rを超えた代数	複素数	二重数	分解型複素数
ε2	-1	0	1
時空の解釈	なし	ニュートン時空	ミンコフスキー時空
傾斜	tan φ = m	tanp φ = u	tanh φ = v
コサイン	cos φ = (1+m2)−1/2	cosp φ = 1	cosh φ = (1-v2)−1/2
サイン	sin φ = m (1+m2)−1/2	sinp φ = u	sinh φ = v (1-v2)−1/2
セカント	sec φ = (1+m2)1/2	secp φ = 1	sech φ = (1-v2)1/2
コセカント	csc φ = m−1 (1+m2)1/2	cscp φ = u−1	csch φ = v−1 (1-v2)1/2

脚注

1. ^ Dalarsson, Mirjana; Dalarsson, Nils (2015). Tensors, Relativity, and Cosmology (2nd ed.). Academic Press. p. 106–108. ISBN 978-0-12-803401-9. https://books.google.com/books?id=KZOZBgAAQBAJ  Extract of page 106
2. ^ FitzGerald, George Francis (1889), “The Ether and the Earth's Atmosphere”, Science 13 (328): 390, Bibcode: 1889Sci....13..390F, doi:10.1126/science.ns-13.328.390, PMID 17819387, https://zenodo.org/record/1448315 
3. ^ Lorentz, Hendrik Antoon (1892), “The Relative Motion of the Earth and the Aether”, Zittingsverlag Akad. V. Wet. 1: 74–79 
4. ^ ^{a b} Pais, Abraham (1982), Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-520438-7 
5. ^ Einstein, Albert (1905a), “Zur Elektrodynamik bewegter Körper”, Annalen der Physik 322 (10): 891–921, Bibcode: 1905AnP...322..891E, doi:10.1002/andp.19053221004, http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf . See also: English translation.
6. ^ Minkowski, Hermann (1909), “Raum und Zeit”, Physikalische Zeitschrift 10: 75–88 

   • Various English translations on Wikisource: Space and Time

7. ^ ^{a b c} Born, Max (1964), Einstein's Theory of Relativity, Dover Publications, ISBN 0-486-60769-0, https://archive.org/details/einsteinstheoryo0000born 
8. ^ Edwin F. Taylor; John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1. https://archive.org/details/spacetimephysics00edwi_0 
9. ^ Albert Shadowitz (1988). Special relativity (Reprint of 1968 ed.). Courier Dover Publications. pp. 20–22. ISBN 0-486-65743-4. https://archive.org/details/specialrelativit0000shad 
10. ^ Leo Sartori (1996). Understanding Relativity: a simplified approach to Einstein's theories. University of California Press. pp. 151ff. ISBN 0-520-20029-2 
11. ^ Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2013-01-01). he Feynman Lectures on Physics, Desktop Edition Volume II: The New Millennium Edition (illustrated ed.). Basic Books. p. 13–6. ISBN 978-0-465-07998-8. https://books.google.com/books?id=uaQfAQAAQBAJ  Extract of page 13-6
12. ^ E M Lifshitz, L D Landau (1980). The classical theory of ields. Course of Theoretical Physics. Vol. 2 (Fourth ed.). Oxford UK: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9. http://worldcat.org/isbn/0750627689 
13. ^ ^{a b} Sexl, Roman; Schmidt, Herbert K. (1979), Raum-Zeit-Relativität, Braunschweig: Vieweg, ISBN 3-528-17236-3 
14. ^ Brookhaven National Laboratory. “The Physics of RHIC”. 2013年1月1日閲覧。
15. ^ Manuel Calderon de la Barca Sanchez. “Relativistic heavy ion collisions”. 2013年1月1日閲覧。
16. ^ Hands, Simon (2001). “The phase diagram of QCD”. Contemporary Physics 42 (4): 209–225. arXiv:physics/0105022. Bibcode: 2001ConPh..42..209H. doi:10.1080/00107510110063843. 
17. ^ Williams, E. J. (1931), “The Loss of Energy by β -Particles and Its Distribution between Different Kinds of Collisions”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A 130 (813): 328–346, Bibcode: 1931RSPSA.130..328W, doi:10.1098/rspa.1931.0008 
18. ^ DESY photon science. “What is SR, how is it generated and what are its properties?”. 2016年6月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年1月1日閲覧。
19. ^ DESY photon science. “FLASH The Free-Electron Laser in Hamburg (PDF 7,8 MB)”. 2013年1月1日閲覧。
20. ^ [1]
21. ^ Miller, A.I. (1981), “Varičak and Einstein”, Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911), Reading: Addison–Wesley, pp. 249–253, ISBN 0-201-04679-2, https://archive.org/details/alberteinsteinss0000mill/page/249 
22. ^ ^{a b} Einstein, Albert (1911). “Zum Ehrenfestschen Paradoxon. Eine Bemerkung zu V. Variĉaks Aufsatz”. Physikalische Zeitschrift 12: 509–510. ; Original: Der Verfasser hat mit Unrecht einen Unterschied der Lorentzschen Auffassung von der meinigen mit Bezug auf die physikalischen Tatsachen statuiert. Die Frage, ob die Lorentz-Verkürzung wirklich besteht oder nicht, ist irreführend. Sie besteht nämlich nicht "wirklich", insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht existiert; sie besteht aber "wirklich", d. h. in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter.
23. ^ Kraus, U. (2000). “Brightness and color of rapidly moving objects: The visual appearance of a large sphere revisited”. American Journal of Physics 68 (1): 56–60. Bibcode: 2000AmJPh..68...56K. doi:10.1119/1.19373. http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/sphere/sphere.pdf. 
24. ^ Weisskopf, Victor F. (1960). “The visual appearance of rapidly moving objects”. Physics Today 13 (9): 24–27. doi:10.1063/1.3057105. https://semanticscholar.org/paper/43697c6c0f27695068e4d017a1f0f9a6878a2bda. 
25. ^ Penrose, Roger (2005). The Road to Reality. London: Vintage Books. pp. 430–431. ISBN 978-0-09-944068-0 
26. ^ Can You See the Lorentz-Fitzgerald Contraction? Or: Penrose-Terrell Rotation
27. ^ Bernard Schutz (2009). “Lorentz contraction”. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. p. 18. ISBN 978-0521887052. https://books.google.co.jp/books?id=V1CGLi58W7wC&pg=PA18&dq=%22lorentz+contraction%22 
28. ^ David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker (2010), Fundamentals of Physics, Chapters 33-37, John Wiley & Son, pp. 1032f, ISBN 978-0470547946 

外部リンク

• Physics FAQ: Can You See the Lorentz–Fitzgerald Contraction? Or: Penrose-Terrell Rotation; The Barn and the Pole
• 『ローレンツ収縮』 - コトバンク

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一般	光の片道速度 en:Test theories of special relativity 標準模型の拡張（英語版）