固有長が分かっている場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 22:23 UTC 版)
「長さの収縮」の記事における「固有長が分かっている場合」の解説
逆に、物体がSで静止し固有長が分かっている場合、物体の端点での測定の同時性は、物体が常にそこでの位置を変化させるため、別の系S'で考慮されなければならない。よって空間座標と時間座標の両方が変換されなければならない。 x 1 ′ = γ ( x 1 − v t 1 ) a n d x 2 ′ = γ ( x 2 − v t 2 ) t 1 ′ = γ ( t 1 − v x 1 / c 2 ) a n d t 2 ′ = γ ( t 2 − v x 2 / c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}} t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}} および L 0 = x 2 − x 1 {\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}} であり、この結果非同時の差異が生じる。 Δ x ′ ≡ x 2 ′ − x 1 ′ = γ L 0 Δ t ′ ≡ t 2 ′ − t 1 ′ = − γ v L 0 / c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&\equiv x_{2}'-x_{1}'=\gamma L_{0}\\\Delta t'&\equiv t_{2}'-t_{1}'=-\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}} 両方の端点の同時位置を得るには、2番目の端点がS'に対するSの速度 − v {\displaystyle -v} を − Δ t {\displaystyle -\Delta t} で進めなければならない。よって長さ L ′ {\displaystyle L'} を得るためには、量 ( − v ) ⋅ ( − Δ t ) {\displaystyle (-v)\cdot (-\Delta t)} を Δ x ′ {\displaystyle \Delta x'} に加える必要がある。 L ′ = Δ x ′ + v Δ t ′ = γ L 0 − γ v 2 L 0 / c 2 = L 0 / γ {\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'+v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}} よってS'における運動する長さは収縮している。同様に、前記の計算ではS'において静止している物体に対して対照的な結果が得られる。 L = L 0 ′ / γ {\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }
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