固有関数としての指数関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)
「LTIシステム理論」の記事における「固有関数としての指数関数」の解説
固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。 H f = λ f {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f} ここで、f が固有関数であり、 λ {\displaystyle \lambda } は固有値と呼ばれる定数である。 指数関数 e s t {\displaystyle e^{st}} （ s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } ）は、線型時不変作用素の固有関数である。これについての簡単な証明を示す。 入力を x ( t ) = e s t {\displaystyle x(t)=e^{st}} とする。インパルス応答 h ( t ) {\displaystyle h(t)} でのシステムの出力は次のようになる。 ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) e s τ d τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )e^{s\tau }d\tau } 畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。 ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) e s ( t − τ ) d τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{s(t-\tau )}\,d\tau } = e s t ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) e − s τ d τ {\displaystyle \quad =e^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,d\tau } = e s t H ( s ) {\displaystyle \quad =e^{st}H(s)} ここで H ( s ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d t {\displaystyle H(s)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt} はパラメータ s にのみ依存する。 従って、システムの応答は入力に定数 H ( s ) {\displaystyle H(s)} をかけたものと同じであるから、 e s t {\displaystyle e^{st}} はLTIシステムの固有関数である。
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固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。 H f = λ f {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f} ここで、f が固有関数であり、 λ {\displaystyle \lambda } は固有値と呼ばれる定数である。 指数関数 z n = e s T n {\displaystyle z^{n}=e^{sTn}} （ n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } ）は、線型時不変作用素の固有関数である。 T ∈ R {\displaystyle T\in \mathbb {R} } はサンプリング間隔であり、 z = e s T , z , s ∈ C {\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} } である。これについての簡単な証明を示す。 入力を x [ n ] = z n {\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}} とする。インパルス応答 h [ n ] {\displaystyle h[n]} でのシステムの出力は次のようになる。 ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] z m {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}} 畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。 ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z ( n − m ) {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}} = z n ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z − m {\displaystyle \quad =z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}} = z n H ( z ) {\displaystyle \quad =z^{n}H(z)} ここで H ( z ) = ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z − m {\displaystyle H(z)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}} はパラメータ s にのみ依存する。 従って、システムの応答は入力に定数 H ( z ) {\displaystyle H(z)} をかけたものと同じであるから、 z n {\displaystyle z^{n}} はLTIシステムの固有関数である。
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