時間の遅れを用いる場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 22:23 UTC 版)
「長さの収縮」の記事における「時間の遅れを用いる場合」の解説
長さの収縮は、単一の「動く」時計（固有時間 T 0 {\displaystyle T_{0}} を示す）の速さは2つの同期した「止まっている」時計（ T {\displaystyle T} を示す）に対して低くなることにより、時間の遅れからも導出できる。時間の遅れは実験的に複数の時間により確認されており、関係式 T = T 0 ⋅ γ {\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma } で表される。 S {\displaystyle S} において静止している固定長 L 0 {\displaystyle L_{0}} の棒と S ′ {\displaystyle S'} において静止している時計が速度 v {\displaystyle v} で互いに沿って移動していると仮定する。相対性の原理によると相対速度の大きさはどちらの基準系でも同じであるため、棒の端点間の時計のそれぞれの移動時間は、 S {\displaystyle S} で T = L 0 / v {\displaystyle T=L_{0}/v} および S ′ {\displaystyle S'} で T 0 ′ = L ′ / v {\displaystyle T'_{0}=L'/v} と与えられる。よって、 L 0 = T v {\displaystyle L_{0}=Tv} および L ′ = T 0 ′ v {\displaystyle L'=T'_{0}v} となる。時間の遅れの式を挿入すると、これらの長さの比は L ′ L 0 = T 0 ′ v T v = 1 / γ {\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma } . となる。したがって、 S ′ {\displaystyle S'} で測定される長さは L ′ = L 0 / γ {\displaystyle L'=L_{0}/\gamma } と与えられる。そのため、棒を横切る時計の移動時間は S {\displaystyle S} のものの方が S ′ {\displaystyle S'} より長く（ S {\displaystyle S} における時間の遅れ）、棒の長さも S {\displaystyle S} においての長さの方が S ′ {\displaystyle S'} においての長さより長くなる（ S ′ {\displaystyle S'} における長さの収縮）。同様に、時計は S {\displaystyle S} で静止しており、棒が S ′ {\displaystyle S'} にある場合、上記の手順では L = L 0 ′ / γ {\displaystyle L=L'_{0}/\gamma } と与えられる。
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