運動する長さが分かっている場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 22:23 UTC 版)
「長さの収縮」の記事における「運動する長さが分かっている場合」の解説
慣性基準系Sにおいて、この系で運動している物体の端点を x 1 {\displaystyle x_{1}} と x 2 {\displaystyle x_{2}} とする。ここで長さ L {\displaystyle L} を上の決まりに従い t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}\,} の端点の同時位置を決定することで測定した。S'におけるこの物体の固有長はローレンツ変換を用いて計算する。時間座標をSからS'へ変換すると異なる時間となるが、S'では物体は静止しており、端点が測定された時間は関係ないため問題はない。したがって、空間座標の変換で十分であり、次式 x 1 ′ = γ ( x 1 − v t 1 ) a n d x 2 ′ = γ ( x 2 − v t 2 ) {\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad \mathrm {and} \quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)} が得られる。 t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}\,} であるから、 L = x 2 − x 1 {\displaystyle L=x_{2}-x_{1}\,} かつ L 0 ′ = x 2 ′ − x 1 ′ {\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}} とするとS'における固有長は L 0 ′ = L ⋅ γ . (1) {\displaystyle L_{0}^{'}=L\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(1)}}} で与えられる。これに対してSで測定した長さは L = L 0 ′ / γ . (2) {\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(2)}}} で与えられるように収縮する。相対論の原理によるとSで静止している物体はS'では収縮しなくてはならない。上式の符号とプライムを対称的に交換することで次のようになる。 L 0 = L ′ ⋅ γ . (3) {\displaystyle L_{0}=L'\cdot \gamma .\qquad \qquad {\text{(3)}}} よってS'で測定される収縮した長さは L ′ = L 0 / γ . (4) {\displaystyle L'=L_{0}/\gamma .\qquad \qquad {\text{(4)}}} と与えられる。
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