アフィン写像
アフィン変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/24 05:53 UTC 版)
詳細は「アフィン空間#アフィン変換」を参照 数学の分野で「移動」といえば、アフィン空間の平行移動、すなわち「アフィン変換」を意味する。 ただし、一般には、変換群をもった等質空間での変換のことを指すこともある。
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アフィン変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 04:30 UTC 版)
詳細は「アフィン写像」および「アフィン変換群」を参照 アフィン空間の対称性をたもつような写像はアフィン変換またはアフィン写像と呼ばれる。アフィン空間 A に対し、A 上のベクトルの空間 V = V(A) は平行移動によって推移的に作用する。また点 O を一つ選んで固定するとき、V 上の線型変換 T は（V = (A, O) と同一視することにより）原点 O を動かさない変換として A に作用すると考えることができる。このとき、T は原点を中心とする回転、拡縮、剪断などとして得られるが、これと平行移動（およびその引き戻し）を用いることにより任意の点を中心とする変換にすることができる。すなわち体K上のベクトル空間 V0, V1 をそれぞれ並進対称性の群（平行移動群）とするアフィン空間 E0, E1のあいだのアフィン変換とは、写像 T: E0 → E1 であって、E0 の任意の二点 x, y に関して、x − y に Tx − Ty を対応させる関係が V0 から V1 への線型写像になっているようなものである。 アフィン変換はアフィン空間における凸包の構造を保つ。E0 の元の組 x1, ... , xm の任意のアフィン結合について、 a 1 T x 1 + ⋯ + a m T x m = T ( a 1 x 1 + ⋯ + a m x m ) ( 1 = a 1 + ⋯ + a m ) {\displaystyle a_{1}Tx_{1}+\cdots +a_{m}Tx_{m}=T(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})\quad (1=a_{1}+\cdots +a_{m})} を満たすものとしてアフィン写像を特徴づけることもできる。 実際には、任意のアフィン写像は変換前の原点を変換後の原点に移す平行移動と、各点と原点とのあいだの差のベクトルに関する線形変換との合成によってあたえられる。 アフィン空間内の二つの図形が、可逆なアフィン変換によって互いに移り合うとき、その二つの図形は互いにアフィン合同であるという。ユークリッド空間においてアフィン合同かつ角度を保つということと相似であるということとは同値であり、アフィン合同かつ角度も線分の長さも変えないということは合同であるということである。
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アフィン変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/19 11:25 UTC 版)
X ∼ N ( μ , Σ ) {\displaystyle \mathbf {X} \ \sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})} で Y = c + BX がそのアフィン変換であるとき（c は M × 1 {\displaystyle M\times 1} 定ベクトル、B は M × N {\displaystyle M\times N} 定行列）、Y も多変量正規分布に従い、平均ベクトルは c + Bμ、分散共分散行列は BΣBT である（つまり Y ∼ N ( c + B μ , B Σ B T ) {\displaystyle \mathbf {Y} \sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {c} +\mathbf {B} {\boldsymbol {\mu }},\mathbf {B} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {B} ^{\rm {T}}\right)} ）。 特に、成分 Xi たちの任意の部分集合が従う周辺分布は再び多変量正規分布になる。例えば、部分集合 (X1, X2, X4)T を直接抜き出してくるには、行列 B = [ 1 0 0 0 0 … 0 0 1 0 0 0 … 0 0 0 0 1 0 … 0 ] {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&\ldots &0\\0&1&0&0&0&\ldots &0\\0&0&0&1&0&\ldots &0\end{bmatrix}}} を使えばよい。 別の系として、多変量正規分布に従う X と定ベクトル b のドット積をとった Z = b · X は、1変量正規分布に従う（ Z ∼ N ( b ⋅ μ , b T Σ b ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}\left(\mathbf {b} \cdot {\boldsymbol {\mu }},\mathbf {b} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {b} \right)} ）。 B = [ b 1 b 2 … b n ] = b T {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {b} ^{\rm {T}}} と考えればよい。Σ の正定値性（半正定値性）から、ドット積をとった確率変数の分散は正（非負）になる。 X のアフィン変換 2X は、X と同一の分布に従う2個の独立な確率変数の和とは別物である。
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