アフィン変換の表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 02:11 UTC 版)
通常のベクトルに関する代数学では、行列の積によって線型変換をあらわし、ベクトルの加法で平行移動を表す。あるいは拡大係数行列 (augmented matrix) を用いれば、双方を行列の積を用いて表すことができる。この場合は、どのベクトルも最後に余分な成分として 1 を付け加え、どの行列も 0 のみからなる余分な行を下に追加して、平行移動を表す列を右に加えることになる（ただし、右下の角には 1 を追加する）。つまり、A を行列とし、各ベクトルは縦ベクトルとして ( y 1 ) = ( A b 0 , … , 0 1 ) ( x 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&b\ \\0,\ldots ,0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}} と書けば、これは y = Ax + b と書くのと等価である。行列とベクトルに関する通常の積はつねに原点を原点に移すから、したがって原点を他の点に移すことが必要になる平行移動を表現することはできない。任意のベクトルに 1 を追加することにより、本質的には変換される空間を余計な次元をもつ空間の部分集合と看做すことになる。この大きな空間のなかでは、もとの空間は最後の成分が 1 であるようなベクトル全体の成す部分空間となるから、もとの空間の原点は (0,0, ..., 0, 1) として得られる。もとの空間における平行移動は、この大きな空間の中では線型変換（とくに剪断変形）と見ることができる。これは斉次座標 (homogeneous coordinates) の例になっている。 斉次座標系を用いることは、複数のアフィン変換の組合せを行列の積によって一つに纏めて扱うことができるという点で有利である。これはコンピュータグラフィックスやコンピュータビジョン等で広く用いられる道具である。
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