アフィン変換の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 02:11 UTC 版)
次の等式 { a ′ } = [ M ] { a } + { v } , {\displaystyle \{\,a'\,\}=[M]\{\,a\,\}+\{\,v\,\},} は有限体 F2 上のアフィン変換で、"+" は排他的論理和を表しているとする。ここで [M] は行列 ( 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&1&1\end{pmatrix}}} とし、ベクトル {v} は (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0)T とする。このアフィン変換でたとえば、元 {a} = x7 + x6 + x3 + x = {11001010}（ビッグ・エンディアン二進表示）= {CA}（ビッグ・エンディアン十六進表示）の変換先は a 0 ′ = a 0 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{0}'=a_{0}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1} a 1 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0 {\displaystyle a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0} a 2 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1} a 3 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1} a 4 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0 {\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0} a 5 ′ = a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1} a 6 ′ = a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1} a 7 ′ = a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1} に従って計算することができる。つまり、{a′} = x7 + x6 + x5 + x3 + x2 + 1 = {11101101} = {ED} となる。
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