平面上のアフィン変換

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平面上のアフィン変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 02:11 UTC 版)

「アフィン写像」の記事における「平面上のアフィン変換」の解説

ユークリッド平面上の一般アフィン変換を可視化するために、ABCD および A′B′C′D′ でラベル付けられた平行四辺形をとる。点の取り方がどのようなものであっても、アフィン変換 T で A, B, C, D をそれぞれ A′, B′, C′, D′ へ写すものが存在する。ここで平行四辺形 ABCD が面積 0 に退化していないものと仮定すれば、そのようなアフィン変換 T は一意に決まる。平行四辺形 ABCD を基本として平面全体に格子を描けば、T(A) = A′ および、線分 AB, AC をそれぞれ A′B′, A′C′ に写すこと、また T が A を基点とするベクトルのスカラー倍を保つ（たとえば、A, E, F が同一直線上にないならば、長さについて AF/AE = A′F′/A′E′ が成り立つ）ことに注意して、任意の点 P の像 T(P) を決定することができる。幾何学的には、T は ABCD を基本とする格子を A′B′C′D′ を基本とする格子に写す。 アフィン変換は長さか角のいずれかを保存せず、面積を （A′B′C′D′ の面積）/（ABCD の面積） で与えられる定数倍する。与えられたアフィン変換 T は正（direct; 向きを保つ）か逆（indirect; 向きを逆にする）かのいずれかであり、（たとえばクロス積で与えられる）「符号付面積」に対する効果によって決定することができる。