平面上の水平せん断と鉛直せん断
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 08:32 UTC 版)
「せん断写像」の記事における「平面上の水平せん断と鉛直せん断」の解説
平面 R 2 = R × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} } において、水平せん断（または、x 軸に平行なせん断）とは、座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} で表される点を ( x + m y , y ) {\displaystyle (x+my,y)} に写す変換である。ここで m {\displaystyle m} は定数で、せん断因子と呼ばれる。 この写像により、任意の点はその y {\displaystyle y} 座標に比例して水平に移動する。 x {\displaystyle x} 軸より上にある点は、 m > 0 {\displaystyle m>0} ならば右に（ x {\displaystyle x} 座標が増加する方向に）移動し、 m < 0 {\displaystyle m<0} ならば左に移動する。 x {\displaystyle x} 軸より下にある点はこれとは逆に移動し、軸上の点は動かない。 x {\displaystyle x} 軸と平行な直線はそのままだが、それ以外のすべての直線は x {\displaystyle x} 軸との交点を中心にして様々な角度に回転する。特に、鉛直線は傾き 1 / m {\displaystyle 1/m} の斜線に代わる。すなわち、せん断因子 m {\displaystyle m} は鉛直線が傾く角度 φ {\displaystyle \varphi } （せん断角という）の余接である。 点の座標が列ベクトル（2×1行列）の形で書かれているとき、せん断写像は次のように2×2行列を左からかける形で表すことができる。 ( x ′ y ′ ) = ( x + m y y ) = ( 1 m 0 1 ) ( x y ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.} 鉛直せん断（または、 y {\displaystyle y} 軸に平行なせん断）も同様にして、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を取り換えることで定義される。行列による表現は先の行列の転置行列となる。 ( x ′ y ′ ) = ( x m x + y ) = ( 1 0 m 1 ) ( x y ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.} 鉛直せん断により y {\displaystyle y} 軸より右側の点は m {\displaystyle m} の符号に応じて上または下に移動する。鉛直線は動かないが、それ以外の直線は y {\displaystyle y} 軸との交点を中心に傾く。特に水平線は、傾きが m {\displaystyle m} になるようなせん断角 φ {\displaystyle \varphi } だけ傾く。
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