カルタン形式_(物理学)とは？わかりやすく解説

理論物理学において良く用いられる、四脚場 (Vierbein) や四つ組（英語版） (tetrad) の理論は四次元多様体にカルタン接続（英語版）を適用した特殊例である。これは計量の符号がどのような場合でも適用することができる（計量テンソルを参照）。四次元でない場合は、三つ組 (triad)や五つ組 (pentad)、二脚場 (Zweibein)、五脚場 (Fünfbein)、十一脚場 (Elfbein)などの用語が用いられる。一般の次元については多脚場 (Vielbein) という用語が用いられる。

基底依存の添字記法については、四つ組形式（英語版）を参照。

基礎的要素

$M$ を $n$ -次元可微分多様体、自然数 $p$ および $q$ が

p + q = n

を満たすものとする。さらに $M$ 上の $SO(p, q)$ （英語版）主束 $B$ と、それに付随する $SO(p, q)$ -ベクトル束 $V$ が $SO(p, q)$ の自然な $n$ -次元表現として与えられたものとする。等価な表現として、 $V$ は符号数 $(p, q)$ の計量 $η$ （非縮退二次形式）を備えた $M$ 上のランク- $n$ 実ベクトル束であるとも言える^[1]。

カルタン形式の基礎的な要素は、 $M$ 上のベクトル束から $M$ の接束 $T M$ への可逆線形写像 $e : V \to T M$ である。可逆という条件は課されない場合もある。特に、 $B$ が自明な束である場合は、（局所的には常に仮定できるが） $V$ は直交断面 $f_{a}=f_{1}\ldots f_{n}$

[1]

カルタン形式_(物理学)とは？わかりやすく解説