ペンローズのグラフ記法

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ペンローズのグラフ記法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 04:22 UTC 版)

数学や物理学において、ペンローズのグラフ記法（ペンローズのグラフきほう、Penrose graphical notation もしくは tensor diagram notation）は1971年にロジャー・ペンローズにより提案された多重線形関数やテンソルの（通常は手書きの）視覚的描写^[1]。この記法の図は線でつながれたいくつかの図形から構成されている。この記法はPredrag Cvitanovićにより広く研究され、これを古典リー群の分類に用いた^[2]。物理学におけるスピンネットワークに対する表現論を用いて、そして線形代数におけるトレースダイアグラムに対する行列群の存在とともに一般化されてきた。

解釈

多重線型代数

多重線型代数の言葉においては、それぞれの図形が多重線型関数を表す。図形に付けられた線は関数の入力や出力を表し、図形の結合は本質上の関数の合成である。

テンソル

テンソル代数の言葉では、特定のテンソルは特定の形に関連付けられており、各々のテンソルの抽象上下添字に対応して、多くの線が上下に延びている。2つの形を結ぶ線は添字の縮約に対応する。この表記の1つの利点は、新たな添字に新たな文字を作る必要がないことである。また、明示的に基底に無依存である^[3]。

行列

各形は行列を表し、テンソル積は水平、行列積は垂直に行われる。

特別なテンソルの表現

計量テンソル

計量テンソルは使われるテンソルの種類によってU字型ループもしくは逆U字型ループで表される。

計量テンソル ${\displaystyle g^{ab}}$ 計量テンソル ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}}$ ${\displaystyle \epsilon ^{ab\ldots n}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\epsilon ^{ab\ldots n}}$ 構造定数 ${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$ クロネッカーのデルタ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ ドット積 ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$ ${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$ 対称化 ${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$ 反対称化 ${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$ 行列式 ${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$ 逆行列 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$ 共変微分 ${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$ リーマン曲率テンソルの表記

リッチテンソル ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$ リッチ恒等式 ${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$ ビアンキ恒等式 ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$カテゴリ