アインシュタインの縮約記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 04:21 UTC 版)
アインシュタインの縮約記法（アインシュタインのしゅくやくきほう、英: Einstein summation convention）またはアインシュタインの記法（アインシュタインのきほう、英: Einstein notation）、アインシュタインの規約（アインシュタインのきやく、英: Einstein convention）または総和規約[1]は、添字 (index) の和の記法であり、同じ項で添字が重なる場合はその添字について和を取るというルールである。この重なる指標を擬標（またはダミーの添字、dummy index）、重ならない指標を自由標（またはフリーの添字、free index）と呼ぶ。
一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。この記法が有用なのは、上下に同じ添字がついているときその添字に対する和（縮約）は座標変換によらないという点である[2]。
アインシュタインが 1916 年に用いた[3]。アインシュタインはこの記法を自分の「数学における最大の発見」と（冗談めかして）言ったという[4]。
例
4 次元空間におけるベクトル aμ と bμ (μ = 1, 2, 3, 4) の内積を記すときには、aμ bμ と記述される。これは、具体的に書けば
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アインシュタインの縮約記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「アインシュタインの縮約記法」の解説
詳細は「アインシュタインの縮約記法」を参照 特殊相対性理論では、 ∑ μ a μ b μ {\displaystyle \sum _{\mu }a^{\mu }b_{\mu }} のように上つきと下つきで同じ添え字（この場合は μ）が使われているときは、Σ 記号を省略し、 a μ b μ {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }} と書き表す慣用的な記法が用いられることが多い。この記法をアインシュタインの縮約記法という。 この縮約記法は行列の積や3項以上の場合にも同様に用いられ、例えば ∑ κ , τ a μ κ b κ τ c τ ν {\displaystyle \sum _{\kappa ,\tau }a^{\mu }{}_{\kappa }b^{\kappa }{}_{\tau }c^{\tau }{}_{\nu }} は a μ κ b κ τ c τ ν {\displaystyle a^{\mu }{}_{\kappa }b^{\kappa }{}_{\tau }c^{\tau }{}_{\nu }} と略す。 一方、たとえ2箇所の添え字が共通していても、 ∑ μ a μ b μ {\displaystyle \sum _{\mu }a_{\mu }b_{\mu }} 、 ∑ ν c ν d ν {\displaystyle \sum _{\nu }c^{\nu }d^{\nu }} のように添え字が両方下つき、もしくは両方上つきの場合は Σ を省略しない。
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