物理学における記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:24 UTC 版)
一般的な媒介変数表示された曲面 S の第二基本形式は、次のように定義される。 r = r(u1,u2) を R3 の曲面の正則な媒介変数表示とする。ここで、r は２変数の滑らかなベクトル値関数である。r の uα に関する偏導関数を rα （α = 1, 2）と表示するのが普通である。媒介変数表示の正則性（regularity）は、r1 と r2 が r の定義域内の任意の (u1,u2) に対して線形独立であることを意味する。したがって、r1 と r2 が各点で S の接平面を張る（span）ことを意味する。同様に、外積 r1 × r2 は曲面に垂直な非ゼロのベクトルとなる。媒介変数表示は、したがって、単位法線ベクトル n の場を次のように定義する。 n = r 1 × r 2 | r 1 × r 2 | . {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.} 第二基本形式は大抵次のように書かれる。 I I = b α β d u α d u β . {\displaystyle \mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.} 上記の式は、アインシュタインの縮約記法を用いている。 媒介変数表示された u1u2 平面における与えられた点における第二基本形式の係数 bαβ は、その点での r の2次偏導関数を、S の法線に射影することで与えられる。そして、法線ベクトル n を用いて次のように計算できる。 b α β = r α β γ n γ . {\displaystyle b_{\alpha \beta }=r_{\,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.}
※この「物理学における記法」の解説は、「第二基本形式」の解説の一部です。
「物理学における記法」を含む「第二基本形式」の記事については、「第二基本形式」の概要を参照ください。
- 物理学における記法のページへのリンク
