物理学における空間とは? わかりやすく解説

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物理学における空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/10 00:55 UTC 版)

空間」の記事における「物理学における空間」の解説

詳細は「空間 (数学)」を参照 数学においては、ある集合を「入れ物」に、特定の条件構造(とくに幾何学的構造)としていれて「幾何学的対象」と考えるとき、入れ物となる集合空間くうかんspace)と呼ぶことがあるその場合、集合の元は空間の点と呼ばれる入れ物となる空間複数構造考えられるときには構造ごとに異なる空間があると考えることが自然であることも少なくない。この場合空間とは「入れ物となる集合とその集合の上定義される構造との組のことである」として考えていることになる。 集合条件から公理的構成される空間をとくに抽象空間ちゅうしょうくうかんabstract space)と呼んで具体的な空間区別することがある。たとえば、ベクトル空間線型演算の定義できる集合という条件定まる抽象空間のことだが、実数全体の成す集合 R のような具体的な空間ベクトル空間構造を持つかどうかということとは独立に、ベクトル空間公理のみによってその性質などについて統一的に論じることができる。 空間定義される幾何学的な構造とは、たとえば 「近さ」「向き」「位置関係」「広がりのようなのがそうのであるが、座標函数のような通常代数学的な構造であるとか解析学的な構造であると見なされるようなものも、一部含んでいる。ホモトピーホモロジーコホモロジーは、空間やその幾何学計算しやすい代数系によって捉えるという代数的位相幾何学思想に基づく産物である一方不変量として空間規定する幾何学的な構造一種であると捉えられるユークリッド空間空間雛形として幾何学的な構造様々に含んでいる。たとえば、「近さ」について、ユークリッド距離呼ばれる距離函数によって距離空間構造備えている。空間(の中の図形)が閉じているとか開いているとか、あるいは「広がり具合に関して限界があるとか、繋がっているとか離れているとか、収束発散、とかいった概念は、ユークリッド空間であれば距離の言葉解釈して論じることができる。一般には距離を定めることのできない抽象空間近さ論じるために、位相空間や一空間といった抽象空間の類が定義されるまた、ユークリッド空間上の函数やその解析学は、ユークリッド空間局所的な振る舞い明らかにし、微分構造備えた多様体としての姿を浮き彫りにする。それは、座標による表示通して空間上の微分存在する接空間ベクトル空間としての構造と、その張り合わせとして捉えるともできる。とくに三次元空間では、空間向きや距離をベクトル内積外積などによって把握するベクトル解析詳しく展開される位相空間は、開集合閉集合全体がどうなっているべきであるかを明らかにすることで定義されるが、それによって他の多く幾何学的な構造統一的に調べられる、非常に広い空間概念である。一方函数収束発散あるいは完備といった、空間解析学展開するために必要な性質一様空間性質として理解されることも少なくはない。 多様体場合限らず集合上の函数集まりは、空間の持つ情報様々に写し取るために、それを空間双対的な存在の「空間」と見なすようなこともしばしば行われる。こういった函数空間考察は、多く場合代数的道具空間研究導入する便宜提供することになる。 空間に対して空間上の自己準同型のつくる作用素環などの函数環および、その上加群新たな空間として考えたり、非可換環上の幾何学展開するとしての非可換空間通常の空間変形版見なす非可換幾何考察したりといった直接的な影響留まらず、点の集まりとして定義される空間という点集合論を超えて詳細な情報を得るには点の不足している空間に対して函数空間代数的情報によって元の空間情報引き出したりするようなこと、あるいは抽象代数的な構造物積極的に幾何学的な空間として捕らえるような代数幾何学的な思想が、現われてくる。 代数幾何学やその応用としての数論幾何学では、局所コンパクト群であるユークリッド空間のようなよく知られた(ふつうの)空間のみならず、たとえば位相空間として離散空間となるさまざまな有限群離散群のような、およそ図形とは思えないようなものが各所重要な意味を持つなど、興味深いたくさんの抽象空間扱われる数学関連項目 ヒルベルト空間零空間アフィン空間T1空間LF空間離散空間射影空間可分空間位相空間論コルモゴロフ空間ハウスドルフ空間密着空間商空間双対ベクトル空間ノルム線型空間一様空間線型位相空間計量ベクトル空間確率空間コンパクト空間線型部分空間バナッハ空間連結空間関数空間空間充填

※この「物理学における空間」の解説は、「空間」の解説の一部です。
「物理学における空間」を含む「空間」の記事については、「空間」の概要を参照ください。

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