物理学における応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:21 UTC 版)
「ルジャンドル多項式」の記事における「物理学における応用」の解説
ルジャンドル多項式は初め、1782年にアドリアン＝マリ・ルジャンドルにより、ニュートン・ポテンシャル（英語版） 1 | x − x ′ | = 1 r 2 + r ′ 2 − 2 r r ′ cos γ = ∑ ℓ = 0 ∞ r ′ ℓ r ℓ + 1 P ℓ ( cos γ ) {\displaystyle {\frac {1}{\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )} の展開の係数として定義された。ここに、r, r′ はそれぞれベクトル x, x′ の長さであり、γ はそれらのベクトルのなす角である。上記の級数は r > r′ が満たされる場合に収束し、質点に対応する重力ポテンシャルもしくは点電荷に対応するクーロンポテンシャルを極座標表示する際に用いることができる。このルジャンドル多項式を用いた展開は、例えば連続質量や電荷分布の上でこの展開を積分するときなどに有用である。 ルジャンドル多項式は、空間の無電荷領域における電位に関するラプラス方程式 ∇ 2 Φ ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ({\boldsymbol {x}})=0} を軸対称な（方位角に依存しない）境界条件のもとで、変数分離法を用いて解く際にも登場する。ここで、 ^z を対称軸、θ を観測者の位置と ^z-軸との間の角（天頂角）とするとき、電位は Φ ( r , θ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ [ A ℓ r ℓ + B ℓ r − ( ℓ + 1 ) ] P ℓ ( cos θ ) {\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta )} となる。Aℓ と Bℓ は各問題の境界条件に従って決定される。 三次元における中心力に対するシュレーディンガー方程式を解く際にもルジャンドル多項式は現れる。
※この「物理学における応用」の解説は、「ルジャンドル多項式」の解説の一部です。
「物理学における応用」を含む「ルジャンドル多項式」の記事については、「ルジャンドル多項式」の概要を参照ください。
物理学における応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:36 UTC 版)
物理学では、何らかの力によるポテンシャルエネルギーを表現するのによく使われる。力場はベクトル場であるが、なにかのスカラー場の勾配を取ったものとして表現できる。つまりベクトル場 F について、スカラー場 ψ との間に次のような関係があるとき、ψ を特に場 F のスカラーポテンシャルと言う。 F = − ∇ ψ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\nabla \psi } ただし、ここで ∇ {\displaystyle \nabla } はナブラと呼ばれ、 ∇ = i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z {\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\boldsymbol {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\boldsymbol {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}} として定義される。i, j, kはそれぞれx, y, z方向の単位ベクトルである。 ポテンシャル場 重力や電磁力によって生じる力を表すスカラー場。 気象学での気温、湿度や気圧の場。
※この「物理学における応用」の解説は、「スカラー場」の解説の一部です。
「物理学における応用」を含む「スカラー場」の記事については、「スカラー場」の概要を参照ください。
- 物理学における応用のページへのリンク
