スカラー場の勾配
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/30 09:55 UTC 版)
スカラー場 f(x) の勾配は d f = ( g r a d f ) ⋅ d x {\displaystyle df=(\mathrm {grad} \,f)\cdot d{\boldsymbol {x}}} で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が d x = e r d r + r e θ d θ + r sin θ e ϕ d ϕ {\displaystyle d{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {e}}_{r}\,dr+r{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,d\theta +r\sin \theta \,{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,d\phi } であることから、球面座標系でのスカラー場 f の勾配は g r a d f = e r ∂ f ∂ r + e θ r ∂ f ∂ θ + e ϕ r sin θ ∂ f ∂ ϕ {\displaystyle \mathrm {grad} \,f={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}} となる。ベクトル微分演算子を ∇ = e r ∂ ∂ r + e θ r ∂ ∂ θ + e ϕ r sin θ ∂ ∂ ϕ {\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}} で定めれば g r a d f = ∇ f {\displaystyle \mathrm {grad} \,f=\nabla f} と書ける。
※この「スカラー場の勾配」の解説は、「球面座標系」の解説の一部です。
「スカラー場の勾配」を含む「球面座標系」の記事については、「球面座標系」の概要を参照ください。
- スカラー場の勾配のページへのリンク
