スカラー場での例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/11 15:15 UTC 版)
「オンシェルとオフシェル」の記事における「スカラー場での例」の解説
D-次元ミンコフスキー空間の中のスカラー場が一つの例である。ラグランジアン密度が L ( ϕ , ∂ μ ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )} により与えられたとすると、作用は、 S = ∫ d D x L ( ϕ , ∂ μ ϕ ) {\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )} ∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) = ∂ L ∂ ϕ {\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}} である。ここで、無限小の時空平行移動 x μ → x μ + α μ {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }} を考える。ラグランジアン密度 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} はスカラーであり、従って、 δ L = α μ ∂ μ L {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}} として変換する。ラグランジアン密度をテイラー展開すると、 δ L {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}} に対し同値な表現を得る。 δ L = ∂ L ∂ ϕ δ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) δ ( ∂ μ ϕ ) . {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )\ .} （変分は時空の各々の・で独立であるので）、 δ L {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}} へ代入し、 δ ( ∂ μ ϕ ) = ∂ μ ( δ ϕ ) {\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )} に注意すると、 α μ ∂ μ L = ∂ L ∂ ϕ δ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) δ ( ∂ μ ϕ ) {\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )} を得る。しかし場自身はスカラーであるので、これらの変換はちょうど L {\displaystyle {\mathcal {L}}} のようになり、 α μ ∂ μ L = ∂ L ∂ ϕ α μ ∂ μ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) α μ ∂ μ ∂ ν ϕ {\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi } となる。この式は独立した変換 α μ = ( ϵ , 0 , . . . , 0 ) , ( 0 , ϵ , . . . , 0 ) , . . . {\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...} に対しても成立せねばならないので、 α μ {\displaystyle \alpha ^{\mu }} により次のように書き換えることができる。 ∂ μ L = ∂ L ∂ ϕ ∂ μ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) ∂ μ ∂ ν ϕ . {\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi \ .} ∂ μ L = ∂ ν ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) ∂ μ ϕ + ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) ∂ μ ∂ ν ϕ . {\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi \ .} ∂ ν ( ∂ L ∂ ( ∂ ν ϕ ) ∂ μ ϕ − δ μ ν L ) = 0 {\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0} と書くことができ、大括弧の中の量を T ν μ {\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }} と書くと、 ∂ ν T ν μ = 0 {\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0} を得る。これはネーターの定理の一つの例であり、保存量がエネルギー運動量テンソルである。すなわちon shellであるような粒子(もしくは場)を考えれば、つまり運動方程式を満たす場のエネルギー運動量テンソルは、唯一の保存量である。
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