スカラー値の二階テンソル関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/08 15:43 UTC 版)
「方向微分」の記事における「スカラー値の二階テンソル関数の微分」の解説
f ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})} を、二階テンソル S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} に関する実数値関数とする。このとき、すべての二階テンソル T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} に対して、方向 T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} への f ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})} の S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} に関する（あるいは、 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} における）微分は、次の二階テンソルで定義される： ∂ f ∂ S : T = D f ( S ) [ T ] = [ d d α f ( S + α T ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}.} 性質： f ( S ) = f 1 ( S ) + f 2 ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})} なら、 ∂ f ∂ S : T = ( ∂ f 1 ∂ S + ∂ f 2 ∂ S ) : T {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}} 。 f ( S ) = f 1 ( S ) f 2 ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})} なら、 ∂ f ∂ S : T = ( ∂ f 1 ∂ S : T ) f 2 ( S ) + f 1 ( S ) ( ∂ f 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} 。 f ( S ) = f 1 ( f 2 ( S ) ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))} なら、 ∂ f ∂ S : T = ∂ f 1 ∂ f 2 ( ∂ f 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} 。
※この「スカラー値の二階テンソル関数の微分」の解説は、「方向微分」の解説の一部です。
「スカラー値の二階テンソル関数の微分」を含む「方向微分」の記事については、「方向微分」の概要を参照ください。
- スカラー値の二階テンソル関数の微分のページへのリンク
