スカラー値ベクトル関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/08 15:43 UTC 版)
「方向微分」の記事における「スカラー値ベクトル関数の微分」の解説
f ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})} を、ベクトル v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する実数値関数とする。このとき、すべてのベクトル u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} に対して、方向 u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} への f ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})} の v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する（あるいは、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} での）微分は、次のように定義される： ∂ f ∂ v ⋅ u = D f ( v ) [ u ] = [ d d α f ( v + α u ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=Df({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.} 性質： f ( v ) = f 1 ( v ) + f 2 ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}({\boldsymbol {v}})+f_{2}({\boldsymbol {v}})} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v + ∂ f 2 ∂ v ) ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right)\cdot {\boldsymbol {u}}} 。 f ( v ) = f 1 ( v ) f 2 ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}({\boldsymbol {v}})~f_{2}({\boldsymbol {v}})} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v ⋅ u ) f 2 ( v ) + f 1 ( v ) ( ∂ f 2 ∂ v ⋅ u ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {v}})+f_{1}({\boldsymbol {v}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)} 。 f ( v ) = f 1 ( f 2 ( v ) ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {v}}))} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ∂ f 1 ∂ f 2 ∂ f 2 ∂ v ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}} 。
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