物理学における球面調和関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 15:13 UTC 版)
「軌道角運動量」の記事における「物理学における球面調和関数」の解説
3次元空間 R3 の場合、R3 を球面座標 (r,θ,φ) で表す。下記の関数 Y ℓ , m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )} を（物理学における）球面調和関数という： Y ℓ , m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 ℓ + 1 4 π ( ℓ − | m | ) ! ( ℓ + | m | ) ! P ℓ | m | ( cos θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2\ell +1}{4\pi }}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}\,}}P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }} …(B1) ここで mは整数で、 ℓ {\displaystyle \ell } は ℓ ≥ | m | {\displaystyle \ell \geq |m|} …(B2) であり、 P ℓ m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(t)} はルジャンドルの陪多項式 P ℓ m ( t ) = 1 2 ℓ ( 1 − t 2 ) m 2 ∑ j = 1 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ ( − 1 ) j ( 2 ℓ − 2 j ) ! j ! ( ℓ − j ) ! ( ℓ − 2 j − m ) ! t ℓ − 2 j − m {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(t)={1 \over 2^{\ell }}(1-t^{2})^{m \over 2}\sum _{j=1}^{\lfloor (\ell -m)/2\rfloor }{(-1)^{j}(2\ell -2j)! \over j!(\ell -j)!(\ell -2j-m)!}t^{\ell -2j-m}} …(B3) である。すなわち P ℓ m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(t)} はルジャンドルの陪微分方程式 ( 1 − t ) y ″ ( t ) + − 2 t y ′ ( t ) + ( ℓ ( ℓ + 1 ) − m 2 1 − z 2 ) = 0 {\displaystyle (1-t)y''(t)+-2ty'(t)+\left(\ell (\ell +1)-{m^{2} \over 1-z^{2}}\right)=0} の解である。なお Y ℓ , m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )} の定義における係数は、後述する内積から定義されるノルムが 1 になるよう選んだものである。
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