構造係数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:46 UTC 版)
詳細は「構造定数」を参照 体上の多元環 A に対し、その双線型な乗法 A × A → A は A の基底元の間の積を求めれば完全に決まる。逆に、A の基底を選んでおいて、その間の積を任意に定めるならば、それを延長して A 上の双線型な演算が一意的に定まり、それは多元環の積の条件を満足する。 従って、与えられた体 K に対する任意の多元環は、同型を除いて、その次元 n と n3-個の構造係数 ci,j,k と呼ばれる特定のスカラーを与えることによって決定される。ここで、構造係数というのは、A 上の乗法を e i e j = ∑ k = 1 n c i , j , k e k {\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\,e_{k}} なる規則によって完全に決定するものである。ただし、e1, …, en は A の基底とする。構造係数に課される条件は、次元 n が無限大であるときには、この和が（状況に応じて適当な意味で）常に収斂することだけである。 構造係数のいくつか異なる組に対して、同型な多元環が生じ得ることは留意すべきである。 多元環が計量を備えているときには、構造係数の添字は上付きと下付きに書いて、座標変換に対するそれらの変換規則を区別する。具体的には、数理物理において、下付き添字は共変添字で、引き戻し（英語版）を通じて変換し、他方上付き添字は反変添字で、押し出しのもとで変換するので、このとき構造係数は ci,jk と書かれ、またアインシュタインの縮約記法を用いるなら定義式は eiej = ci,jk ek と書くことができる。ベクトルの成分に関する添字記法を用いるならば、これは (xy)k = ci,jkxiyj と書くこともできる。 K が単に可換環であって体を成さない場合、同様の過程は A が自由加群であるときに限れば通用する。そうでなくとも、A の乗法は A を生成する集合上の作用が決まるならばやはり完全に決めることができるが、しかしこの場合には構造係数を任意に決めるということはできず、構造係数から同型を除いて多元環を決定するということも可能にはならない。
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