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リー環の拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/08 05:54 UTC 版)

リー群論，リー環論，およびそれらの表現論において，リー環の拡大 (Lie algebra extension) $e$ とは，与えられたリー環 $g$ を別のリー環 $h$ によって「拡大」することである．拡大はいろいろな方法で生じる．2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある．別の種類の拡大は分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である．拡大は，例えば射影群表現（英語版）からリー環を作るときに，自然に生じる．そのようなリー環は中心電荷を持つ．ｗ有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から始めて，2つの拡大，中心拡大と微分による拡大を施すと，untwisted アファインカッツ・ムーディ代数に同型なリー環を得る．中心拡大したループ代数を用いて2次元時空のカレント代数（英語版）を構成できる．ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である^[1]．

注

^ オットー・シュライアー (1901– 1929) は群の拡大の理論の開拓者である．彼の豊富な研究論文とともにレクチャーノートは死後 Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Vol I 1931, Vol II 1935) の名で（Emanuel Sperner（英語版）により編集され）出版された．後に1951年に英語に Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory において翻訳された．さらなる文献は MacTutor 2015 を参照．
^ ヤコビ恒等式が成り立つことを示すには，one writes everything out, uses the fact that the underlying Lie algebras have a Lie product satisfying the Jacobi identity, and that $δ [X, Y] = [δ (X), Y] + [X, δ (Y)]$ .
^ ^a ^b Roughly, the whole Lie algebra is multiplied by $i$ , there is an $i$ occurring in the definition of the structure constants and the exponent in the exponential map (Lie theory) acquires a factor of (minus) $i$ . the main reason for this convention is that physicists like their Lie algebra elements to be Hermitian (as opposed to skew-Hermitian) in order for them to have real eigenvalues and hence be candidates for observables.
^ ミゲル・アンヘル・ヴィラソロ（英語版） (Miguel Ángel Virasoro) は 1940 年生まれのアルゼンチンの物理学者．彼に因んで名づけられているヴィラソロ代数は，最初 Virasoro (1970) で出版された．
^ 同じ効果は $W$ の基底の変換によって得ることができる．
^ 2-コサイクルがその値をアーベル群 $U(1)$ に取るとき，すなわちそれが位相因子であるとき，これはウィグナーの定理の文脈では常にそうであるが，構成において $C *$ を $U(1)$ でおきかえてもよい．
^ Bäuerle & de Kerf 1997, Chapter 18. 文献はこの事実と示すのが難しいことを述べている．さらなる文献は与えられていない．Expressions on a slightly different form can be found tough in Tuynman & Wiegerinck (1987) and Bargmann (1954).
^ これを見るには，式 (4) を $Ψ gg'$ に適用し， $Φ$ は準同型であることを思い出し， $Φ g (e G) = e Ψ g (G)$ を数回使う．
^ $Aut h)$ のリー環が $Der h$ , $h$ のすべての導分の集合（それ自身明らかなブラケットによりリー環である）であるという事実は Rossmann 2002, p. 51 において見つけられる．
^ Since $U = - i \sum α a T a$ and $U †$ are constant, they may be pulled out of partial derivatives. The $U$ and $U †$ then combine in $U † U = I$ by unitarity.
^ This follows from Gauss law is based on the assumption of a sufficiently rapid fall-off of the fields at infinity.
^ There are alternative routes to quantization, e.g. one postulates the existence of creation and annihilation operators for all particle types with certain exchange symmetries based on which statistics, Bose–Einstein or Fermi–Dirac, the particles obey, in which case the above are derived for scalar bosonic fields using mostly Lorentz invariance and the demand for the unitarity of the S-matrix. In fact, all operators on Hilbert space can be built out of creation and annihilation operators. See e.g. Weinberg (2002), chapters 2–5.
^ This step is ambiguous, since the classical fields commute whereas the operators don't. Here it is pretended that this problem doesn't exist. In reality, it is never serious as long as one is consistent.