リー環の拡大

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リー環の拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/08 05:54 UTC 版)

リー群論，リー環論，およびそれらの表現論において，リー環の拡大 (Lie algebra extension) e とは，与えられたリー環 g を別のリー環 h によって「拡大」することである．拡大はいろいろな方法で生じる．2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある．別の種類の拡大は分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である．拡大は，例えば射影群表現からリー環を作るときに，自然に生じる．そのようなリー環は中心電荷を持つ． ｗ 有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から始めて，2つの拡大，中心拡大と微分による拡大を施すと，untwisted アファインカッツ・ムーディ代数に同型なリー環を得る．中心拡大したループ代数を用いて2次元時空のカレント代数を構成できる．ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である．

中心拡大は物理学で必要とされる，なぜならば量子化された系の対称性を表す群は通常古典的な対称変換群の中心拡大であり，同様に量子系の対応する symmetry リー環は一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるからである．カッツ・ムーディ代数は統一超弦理論の対称変換群であると予想されている．中心拡大されたリー環は場の量子論，特に共形場理論，弦理論とM理論において，支配的な役割を果たす．

後半の大部分はリー環の拡大が実際有用である分野である数学と物理学双方での応用の背景資料に割かれている．かっこつきリンク，（背景資料），はそれが有益であろうところで提供される．

歴史

リー対応のため，理論は，したがってリー環の拡大の歴史は，群の拡大の理論と歴史と密接に関係している．群の拡大の系統的な研究はオーストリアの数学者オットー・シュライアー (Otto Schreier) によって1923年の彼の PhD 論文（後に出版）においてなされた．オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によってシュライアーの論文のために出された問題は次のものであった：「2つの群 G と H が与えられたとき，群 E であって G と同型な正規部分群 N を持ち剰余群 E/N が H と同型であるものをすべて求めよ．」

リー環の拡大は無限次元リー環に対して最も興味深く有用である．1967年ヴィクトル・カッツ (Victor Kac) とロバート・ムーディ (Robert Moody) は独立に古典的なリー環の概念を一般化し，今ではカッツ・ムーディ代数と呼ばれる無限次元リー環の新しい理論を拓いた．それらは有限次元単純リー環を一般化し，しばしば拡大として具体的に構成できる．

記法と証明

以下では次のような記号の濫用が用いられる：指数写像 exp で引数が与えられたとき e^X, 直積 G × H の元 (g, e_H) を g（e_H は H の単位元），リー環の直和でも同様（さらに g + h = (g, h) と書かれる）．半直積と半直和についても同様．標準的単射（群とリー環両方）は暗黙の同一視のために用いられる．さらに．G, H, ..., が群であれば，G, H, ..., の元のデフォルトの名前は g, h, ..., であり，それらのリー環は g, h, ... である．g, h, ..., の元のデフォルトの名前は G, H, ... であり（群と同じ！），乏しいアルファベット資源を節約する意味もあるが，主に統一的な表記のためである．

拡大の材料となるリー環は，何も言わずに，同じ体上のものが取られる．

総和規約が使われ，上下両方の添え字に関わる場合もある．

警告：以下の証明や証明の概略のすべてが普遍的な有効性を持っているわけではない．主な理由はリー環がしばしば無限次元であるために，リー環に対応するリー群がないかもしれないからである．さらに，そのような群が存在したとしても，「通常の」性質を持っているとは限らず，例えば指数写像があるとは限らず，もしあっても「通常の」性質をすべては持たないかもしれない．そのような場合には，群を「リー群」と呼ぶべきかどうか疑わしい．文献は画一的でない．明示的な例にはたぶん，妥当な構造が適切な位置に書かれる．

定義

リー環の拡大は短完全列を用いて定式化される．短完全列とは，長さ3の完全列

${\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}$

拡大の種類

自明

リー環の拡大

${\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},$

写像 ε は

$\epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}$

が可換になること，すなわち i′ ∘ Ψ = Φ ∘ i, s′ ∘ Φ = s となることをいう．

構成

直和により

g, h を同じ体 K 上のリー環とする．

${\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}$

Murray Gell-Mannは，1969年のノーベル物理学賞受賞者で，1960年代にカレント代数の分野を創始した．それは，Adler–Weisberger sum rule のような，予測を引き出す台となる力学の知識さえなしに，知られている局所的な対称性を開発する．

多項式ループ代数の中心拡大の応用として，量子的場の理論のカレント代数が考えられる（背景）．Suppose one has a current algebra, with the interesting commutator being

$[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+\dotsb ,$

Robert Moody（左）はカナダの数学者で，カナダ王立協会の Fellow であり，アルバータ大学で働いている．Moody は Victor Kac とともにカッツ・ムーディ代数の co-discoverer である．Kac は MIT で働いているロシアの数学者で，American Mathematical Society の Fellow である．

前の節で 2-コサイクル φ の構成において用いられた導分 d₀ は中心拡大された多項式ループ代数，カッツ・ムーディ代数を実現するためここでは g と書く，上の導分 D に拡張できる（背景）．単純に

$D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G)$

は可換である，すなわち

$\pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}$

エルンスト・ヴィット (1911–1991), ドイツの数学者．ヴィット環は，1930年代に有限体上彼によって研究されたが，最初1909年にカルタンによって複素数の場合に調べられた．

ヴィット代数は，エルンスト・ヴィットに因んで名づけられており，円周 S¹ 上の滑らかなベクトル場のリー環 VectS¹ の複素化である．座標では，そのようなベクトル場は

$X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }}$

と書け，リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで，S¹ 上単に次で与えられる：

$[X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.$

代数は W = VectS¹ + iVectS¹ と書かれる．W の基底は次の集合で与えられる：

$\{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\;\right|\;n\in \mathbb {Z} \right\}.$

この基底は次を満たす：

$[d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^{n}d_{n}=(l-m)\delta _{l+m}^{n}d_{n},\quad l,m,n\in \mathbb {Z} .$

このリー環は有用な中心拡大，ヴィラソロ代数をもつ．それは su(1, 1) と sl(2, R) に同型な 3 次元部分代数を持つ．各 n ≠ 0 に対し，集合 {d₀, d_−n, d_n} は su(1, 1) ≅ sl(2, R) に同型な部分代数を張る．

sl(2, R) や su(1, 1) との関係

m, n ∈ {−1, 0, 1} に対し，

$[d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}$

となる．これらは次の対応で sl(2, R) の交換関係である：

$d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).$

群 SU(1, 1) と SL(2, R) は次の写像で同型である：

$SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}.$

同じ写像は指数写像の性質のためリー環のレベルで成り立つ．su(1, 1) の基底は次で与えられる（古典群を参照）：

$U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right).$

さて次を計算する：

${\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}$

写像はブラケットを保つので，{d₀, d₋₁, d₁} が実数体上張る W の部分代数 sl(2, ℝ) と su(1, 1) の間にはリー環の同型がある．同じことは {d₀, d_−n, d_n}, n ≠ 0 で張られる任意の部分代数に対して成り立つ．これは（同型の一方の）元の単純なリスケーリングから従う．

射影表現

G が行列リー群のとき，リー環の元 G は

$G={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0}$

によって与えることができる，ただし α は t = 0 で単位元を通る G 内の微分可能な道である．リー環の元の交換子は2つの道 g₁, g₂ と群の交換子を用いて計算できる：

$[G_{1},G_{2}]={\frac {d}{dt}}\left.g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1}\right|_{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).$

同様に，群の表現 U(G) が与えられると，そのリー環 u(g) は次で計算される：

${\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right|_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).\end{aligned}}$

すると g と u(g) の間の基底を基底に送りしたがって u が g の忠実表現であるようなリー環の同型が存在する．

しかしながら U(G) が射影表現，すなわち位相因子を除いた表現ならば，群の表現から計算されるリー環は，g に同型ではない．射影表現において乗法の規則は

$U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2})$

である．関数 ω は，しばしば滑らかと仮定されるが，次を満たす：

${\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\,\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\,\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}$

それは G じょうの 2-コサイクルと呼ばれる．

次が成り立つ：

${\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right|_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.e^{i\xi (g_{1},g_{2})\xi (g_{1}^{-1},g_{2}^{-1})\xi (g_{1}g_{2},g_{1}^{-1}g_{2}^{-1})}U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0}\\&\equiv {\frac {d}{dt}}\left.\Omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0}\\&=\left.{\frac {dU(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})}{dt}}\right|_{t=0}+\left.{\frac {d\Omega (g_{1},g_{2})}{dt}}\right|_{t=0}I,\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0),\end{aligned}}$

なぜならば Ω と U はともに t = 0 において単位元になるからである．位相因子 ξ の説明は，ウィグナーの定理を参照．g における基底に対する交換関係

$[G_{i},G_{j}]={C_{ij}^{k}}G_{k}$

は u において

$[U_{i},U_{j}]={C_{ij}^{k}}U_{k}+D_{ij}I$

となるので， u がブラケットで閉じている（したがって実際にリー環である可能性を持つ）ためには，中心電荷 I が含まれていなければならない．

Relativistic classical string theory

A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters σ and τ. Points x^μ in spacetime can, in the range of the parametrization, be written x^μ = x^μ(σ, τ). One uses a capital X to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by (σ, τ) ↦(X⁰(σ, τ), X¹(σ, τ), X²(σ, τ), X³(σ, τ)). The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds.

The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }&=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\\{\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }&=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.\end{aligned}}$

A dot over a quantity denotes differentiation with respect to τ and a prime differentiation with respect to σ. A dot between quantities denotes the relativistic inner product.

These rather formidable equations simplify considerably with a clever choice of parametrization called the light cone gauge. In this gauge, the equations of motion become

${\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,$

the ordinary wave equation. The price to be paid is that the light cone gauge imposes constraints,

${\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,$

so that one cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by

$X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},$

where α' is the slope parameter of the string (related to the string tension). The quantities x₀ and p₀ are (roughly) string position from the initial condition and string momentum. If all the αμ
n are zero, the solution represents the motion of a classical point particle.

This is rewritten, first defining

$\alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},$

and then writing

$X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .$

In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For I = 2, 3, ...d, where d is the number of space dimensions, set

${\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}$

Not all α_n^μ, n ∈ ℤ, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy

${\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.$

The quantitity on the left is given a name,

${\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},$

the transverse Virasoro mode.

When the theory is quantized, the alphas, and hence the L_n become operators.

関連項目

• 群コホモロジー
• Group contraction (Inönu–Wigner contraction)
• 群の拡大
• リー環のコホモロジー
• 環の拡大

参考文献

書籍

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• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A. (1997). Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. 7. North-Holland. ISBN 978-0-444-82836-1. http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582. 
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ウェブ

• MacTutor (2015年). “Schreier biography”. 2015年3月8日閲覧。