数学的表式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/03 19:29 UTC 版)
「一般相対性理論における測地線」の記事における「数学的表式」の解説
完全な形式の測地線方程式を以下に示す。 d 2 x μ d s 2 = − Γ μ α β d x α d s d x β d s {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu } \over \mathrm {d} s^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} s}} ここで、s は運動のスカラーパラメータ（例えば固有時）、 Γ μ α β {\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }\ } はクリストッフェル記号（たまにアフィン接続またはレヴィ・チヴィタ接続とも呼ばれる）で、下付き添字について対称である。ギリシャ文字の添字は [0,1,2,3] の値を取る。左辺の量は粒子の加速度であり、したがってこの方程式は同じ粒子の加速度についての方程式たる、ニュートンの運動方程式に類似したものであると言える。この運動方程式はアインシュタインの縮約記法を用いて書かれており、複数回登場する添字は0から3までの和を取ることとする。クリストッフェル記号は四次元時空座標の関数であり、したがって測地線に沿って運動する試験粒子の速度や加速度その他の特性からは独立である。
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