数学的特徴
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 05:26 UTC 版)
P(x, p) は実関数である。 x および p の確率密度関数は次の周辺確率により与えられる。 ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) = ⟨ x | ρ ^ | x ⟩ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle } 系が純粋状態ならば ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) = | ψ ( x ) | 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}} ∫ − ∞ ∞ d x P ( x , p ) = ⟨ p | ρ ^ | p ⟩ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,P(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle } 系が純粋状態ならば ∫ − ∞ ∞ d x P ( x , p ) = | φ ( p ) | 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,P(x,p)=|\varphi (p)|^{2}} ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) = T r ( ρ ^ ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }})} 通常密度行列 ^ρ のトレースは1である。 P(x, p) は次の鏡映対称性をもつ。時間対称性: ψ ( x ) → ψ ( x ) ∗ ⇒ P ( x , p ) → P ( x , − p ) {\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)} 空間対称性: ψ ( x ) → ψ ( − x ) ⇒ P ( x , p ) → P ( − x , − p ) {\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)} P(x, p) はガリレイ共変（ガリレイ変換に対して不変）である。 ψ ( x ) → ψ ( x + y ) ⇒ P ( x , p ) → P ( x + y , p ) {\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)} ローレンツ共変ではない。 位相空間上の各点における運動方程式は力のない古典力学の方程式である。実際、調和力が働いている場合も古典的である。 状態の重なり積分は以下のように計算される。 | ⟨ ψ | θ ⟩ | 2 = 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ψ ( x , p ) P θ ( x , p ) {\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)} 作用素の期待値（平均値）はウィグナー変換したのちに位相空間上の平均値をとることにより与えられる。 g ( x , p ) ≡ ∫ − ∞ ∞ d y ⟨ x − y / 2 | G ^ | x + y / 2 ⟩ e i p y / ℏ {\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y/2|{\hat {G}}|x+y/2\rangle e^{ipy/\hbar }} ⟨ ψ | G ^ | ψ ⟩ = T r ( ρ ^ G ^ ) = ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) g ( x , p ) {\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} pP(x,p)g(x,p)} P(x, p) が物理的な（正の）密度行列を持つためには、全ての純粋状態 |θ⟩ に対して以下を満たす必要がある。 ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) P θ ( x , p ) ≥ 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)P_{\theta }(x,p)\geq 0} コーシー・シュワルツ不等式を用い、純粋状態においては以下のように有界である。 − 2 h ≤ P ( x , p ) ≤ 2 h {\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq P(x,p)\leq {\frac {2}{h}}} 古典極限 ħ → 0 においては非有界となる。 このことから、 P(x, p) は x 座標空間においては確率密度関数に帰着し、通常は非常に局在化した、運動量方向にデルタ関数のかかった分布になる。つまり、古典極限は「尖って」いる。このことから、この有界性は不確定性原理を反映し、ウィグナー関数が位相空間上で完全に局在化した関数になることを防いできると言える。
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