数学的業績

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数学的業績

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/19 02:05 UTC 版)

「エンニオ・デ・ジョルジ」の記事における「数学的業績」の解説

デ・ジョルジは極小曲面（英語版）に関するベルンシュテインの問題（英語版）を解決した。そのような曲面は、与えられた境界に広がる最小面積の曲面として生じる。証明するうえで、デ・ジョルジはコンパクト性定理とともに、現在幾何学的測度論（英語版）と呼ばれているものの独自の形式を開発する必要があった。そしてデ・ジョルジは、余次元が少なくとも2の閉部分集合の外部では、極小超曲面は解析的であるとの結論を得ることができた。 デ・ジョルジは楕円型偏微分方程式の解の正則性に関するヒルベルトの第19問題（英語版）を解決した。デ・ジョルジが研究を開始した時代、数学者は2変数の2階非線型楕円型方程式を超えるものは何も扱うことができなかった。1957年の最初の主要なブレイクスルーの中で、デ・ジョルジは可測な係数だけを持った発散形式の一様楕円型2階方程式の解はヘルダー連続であることを証明した。この結果は、同じくヒルベルトの問題を研究していたジョン・ナッシュにより1957年から58年に並行して証明されていた。デ・ジョルジの結果が先に出版され、1958年のフィールズ賞はこの2人の数学者のどちらかに与えられると予想されていたが、結局ルネ・トムに授与された。 この業績により、デ・ジョルジは数学コミュニティの中で不朽の名声を得ることとなり、多くの賞が授与された。その中には、1960年のカチョッポリ賞（英語版）、1973年にイタリア共和国の大統領から贈られたアッカデーミア・デイ・リンチェイの国家賞、そして1990年にイスラエル共和国の大統領から贈られたウルフ賞数学部門が含まれる。デ・ジョルジは、1983年ソルボンヌの祝賀会にてパリ大学から数学の名誉学位を、1992年レッチェ大学（英語版）から哲学の名誉学位をそれぞれ授与された。多くのアカデミー、すなわちアッカデーミア・デイ・リンチェイ、ローマ教皇庁科学アカデミー、トリノ科学アカデミー、ロンバルド科学文学協会、パリの科学アカデミー (フランス)、アメリカの米国科学アカデミーの会員に選出された。 デ・ジョルジはピサ高等師範学校（英語版）に長い年月関わり、その時代におけるヨーロッパの解析学の傑出した学校へと導いた。ルイス・ニーレンバーグ、ジョン・ナッシュ、レナート・カチョッポリ（英語版）といった、その時代の多くの指導的な数学者と文通をした。

数学的業績

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/16 00:25 UTC 版)

「エヴァリスト・ガロア」の記事における「数学的業績」の解説

数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。ガロアはガロア理論を用い、ニールス・アーベルによる「五次以上の方程式には一般的な代数的解の公式がない」という定理（アーベル-ルフィニの定理）の証明を大幅に簡略化し、また、より一般にどんな場合に与えられた方程式が代数的な解の表示を持つかについての特徴付けを与えた。また、数学史上初めてカテゴリー論的操作によって自らの理論の基礎を構築している。 群論は数学の分野において重要であるだけでなく、数学以外、例えば物理学では相対性理論や量子力学などを厳密に（形式的に）記述するツールとして用いられる。また、計算機科学、特に理論計算機科学においてガロア体、特に位数2のガロア体 F2 は最も多用される数学的ツールのひとつである。 このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーを初め、カール・ガウスやオーギュスタン・コーシー、カール・ヤコビと言った歴史に名を残した同時代の大数学者達にさえ理解されず、生前に評価されることはなかった。群論の基礎概念とも言える集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、ガロア理論へと通じる数学領域が構築されるのでさえ、ガロアによるガロア理論構築の50年も後のことである。 ガロアの遺書となった友人宛の手紙には、後の数学者たちにとって永年の研究対象となる理論に対する着想が「僕にはもう時間がない」 (je n'ai pas le temps) という言葉と共に書き綴られている。例えば代数的には解けない五次以上の方程式の解を与える、楕円モジュラー関数による超越的解の公式の存在を予言し、そのアイデアを記している。なお、この手法はガロアの死後50年の時を経てシャルル・エルミートによって確立される。

数学的業績

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/24 14:57 UTC 版)

「ジェイコブ・ルーリー」の記事における「数学的業績」の解説

ルーリーの研究上の関心は、まだ高校生だった間に論理と超現実数の理論から始まった。ルーリーは、擬圏と導来代数幾何学に関する学位論文と共に始まった研究により最も知られている。導来代数幾何学は、ホモトピー的手法を代数幾何学に導入する方法の一つで、二つの目的を持つ。一つは代数幾何学(例えば、交叉理論)へのより深い洞察であり、もう一つは安定ホモトピー理論における代数幾何学の手法の使用である。後者の分野は楕円コホモロジー（英語版）に関するルーリーの業績のテーマである。アンドレ・ジョヤル（英語版）の擬圏(quasi categories)の形式における)擬圏は、抽象的な設定でホモトピー理論を展開するのに便利な枠組みである。これらのことは、ルーリーの執筆した『Higher Topos Theory』という本の主要なテーマとなっている。 ルーリーの別の研究は位相的場の理論であり、∞-圏の言語を使用した拡張された場の理論の分類を略述している(コボルディズム仮説)。デニス・ゲイツゴリとの共同研究において、関数体に対するジーゲルの質量公式（英語版）を証明するために、ルーリーは代数幾何学的な設定の中で非可換ポアンカレ双対を使用した。. ルーリーは数学ブレイクスルー賞の最初の受賞者である(2014年)。授賞理由は「高次圏論と導来代数幾何学の基礎に関する業績、最大限に拡張された位相的場の理論の分類、そして楕円コホモロジーのモジュライ理論的解釈の提供に対して」である。ルーリーは2014年(「天才賞」と呼ばれる)マッカーサー・フェローシップも受賞した。