数学的正当化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/29 20:46 UTC 版)
「シチャーマンのサイコロ」の記事における「数学的正当化」の解説
カノニカルな 'n'面サイコロを、 面に1から'n'の数が書かれたどの面も等確率(=1/'n')で出る'n'面体サイコロとする。まず、カノニカルな立方体（6面）サイコロを考える。ここで、そのサイコロの母関数を F 6 ( x ) = x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 {\displaystyle F_{6}(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}} とする（各次数が出目に対応する）。この関数同士の積は、複数のサイコロの出目の和に対応し、2個のサイコロの出目に対する母関数は F 6 ( x ) 2 = x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 5 x 6 + 6 x 7 + 5 x 8 + 4 x 9 + 3 x 10 + 2 x 11 + x 12 {\displaystyle F_{6}(x)^{2}=x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}} である。ここで、円分多項式の理論より、'd'を'n'の約数、 Φ d ( x ) {\displaystyle \Phi _{d}(x)} を'd'次の円分多項式とすると x n − 1 = ∏ d ∣ n n Φ d ( x ) {\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x)} と因数分解できる。そして、等比数列の和の公式より x n − 1 x − 1 = ∑ i = 0 n − 1 x i = 1 + x + ⋯ + x n − 1 {\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}} であるため、'n'面サイコロの母関数は x + x 2 + ⋯ + x n = x x − 1 ∏ d ∣ n n Φ d ( x ) {\displaystyle x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x)} と表せる。ここで、 Φ 1 ( x ) = x − 1 {\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1} で約分すると、6面サイコロの母関数は x Φ 2 ( x ) Φ 3 ( x ) Φ 6 ( x ) = x ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) {\displaystyle x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)} となる。 ここで、2個のサイコロを投げたときの出目が母関数同士の積になることを用いる。そして、その積を再度２個の母関数に分割した場合の係数に着目することで、サイコロの出目の組み合わせを導出できる。但し、ここで母関数の係数は負である場合、2の面が-1個のような意味の無いサイコロとなってしまうことと、係数の総和が6でなければ6面ダイスではないことに注意する。そのため、2個の母関数p(x)に対して、p(0)=0とp(1)=6が条件となる。そしてこの条件を満たす分割は一般的なサイコロを除き1通りしか存在せず、 x ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = x + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 {\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}} と x ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) 2 = x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 8 {\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}} である。そしてこの母関数はそれぞれ1組のサイコロの目{1,2,2,3,3,4} と {1,3,4,5,6,8}に対応する。これがシチャーマンのサイコロである。 円分多項式の因数分解を用いるため、素数面のサイコロに対してはシチャーマンのサイコロのような異なるパターンが存在しない。この母関数を用いたサイコロの目の解析は、6面以外の'n'面サイコロにも一般化できる。
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