数学的背景
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イオントラップ実験において、レーザー場はイオンの内部状態と運動状態とをカップリングさせるために用いられる。イオンが光子を吸収・放出する際の力学的反跳は演算子 exp(ikzz) で表わされる。これらの演算子は原子の運動量の ±ħkz だけのずれを誘起する。ただし + は吸収、− は放出に対応する。調和振動子の固有状態 {|n⟩}n∈No を基底として、 |n⟩ → |n′⟩ の遷移確率はフランク–コンドン係数により与えられる。 F n → n ′ = ⟨ n ′ | exp ( i k z z ) | n ⟩ = ⟨ n ′ | exp ( i η ( a ^ + a ^ † ) ) | n ⟩ {\displaystyle F_{n\rightarrow n^{\prime }}=\langle n^{\prime }\vert \exp(ik_{z}z)\vert n\rangle =\langle n^{\prime }\vert \exp(i\eta ({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }))\vert n\rangle } exp ( i η ( a ^ + a ^ † ) ) = 1 + i η ( a ^ + a ^ † ) + O ( η 2 ) {\displaystyle \exp(i\eta ({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }))=1+i\eta ({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger })+O(\eta ^{2})} そして運動量子数 n が 1 よりも大きく変化する遷移が強く抑制されることは簡単にみてとれる。
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数学的背景
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/28 04:31 UTC 版)
「スレイター–コンドン則」の記事における「数学的背景」の解説
N個の正規直交スピン軌道（rとσは空間変数とスピン変数を示す）の積に作用する反対称化演算子（英語版） ( A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ) の観点から、行列式波動関数は | Ψ ⟩ = A ( ϕ 1 ( r 1 σ 1 ) ϕ 2 ( r 2 σ 2 ) ⋯ ϕ m ( r m σ m ) ϕ n ( r n σ n ) ⋯ ϕ N ( r N σ N ) ) {\displaystyle |\Psi \rangle ={\mathcal {A}}(\phi _{1}(\mathbf {r} _{1}\sigma _{1})\phi _{2}(\mathbf {r} _{2}\sigma _{2})\cdots \phi _{m}(\mathbf {r} _{m}\sigma _{m})\phi _{n}(\mathbf {r} _{n}\sigma _{n})\cdots \phi _{N}(\mathbf {r} _{N}\sigma _{N}))} と表わされる。 単一の軌道（m番目の軌道）のみがこれと異なる波動関数は | Ψ m p ⟩ = A ( ϕ 1 ( r 1 σ 1 ) ϕ 2 ( r 2 σ 2 ) ⋯ ϕ p ( r m σ m ) ϕ n ( r n σ n ) ⋯ ϕ N ( r N σ N ) ) {\displaystyle |\Psi _{m}^{p}\rangle ={\mathcal {A}}(\phi _{1}(\mathbf {r} _{1}\sigma _{1})\phi _{2}(\mathbf {r} _{2}\sigma _{2})\cdots \phi _{p}(\mathbf {r} _{m}\sigma _{m})\phi _{n}(\mathbf {r} _{n}\sigma _{n})\cdots \phi _{N}(\mathbf {r} _{N}\sigma _{N}))} と表わされ、2つの軌道が異なる波動関数は | Ψ m n p q ⟩ = A ( ϕ 1 ( r 1 σ 1 ) ϕ 2 ( r 2 σ 2 ) ⋯ ϕ p ( r m σ m ) ϕ q ( r n σ n ) ⋯ ϕ N ( r N σ N ) ) {\displaystyle |\Psi _{mn}^{pq}\rangle ={\mathcal {A}}(\phi _{1}(\mathbf {r} _{1}\sigma _{1})\phi _{2}(\mathbf {r} _{2}\sigma _{2})\cdots \phi _{p}(\mathbf {r} _{m}\sigma _{m})\phi _{q}(\mathbf {r} _{n}\sigma _{n})\cdots \phi _{N}(\mathbf {r} _{N}\sigma _{N}))} と表わされる。 あらゆる特定の1体または2体演算子Ôについて、スレイター–コンドン則は以下の種類の積分をどのように単純化するかを示す。 ⟨ Ψ | O ^ | Ψ ⟩ , ⟨ Ψ | O ^ | Ψ m p ⟩ , a n d ⟨ Ψ | O ^ | Ψ m n p q ⟩ . {\displaystyle \langle \Psi |{\hat {O}}|\Psi \rangle ,\langle \Psi |{\hat {O}}|\Psi _{m}^{p}\rangle ,\ \mathrm {and} \ \langle \Psi |{\hat {O}}|\Psi _{mn}^{pq}\rangle .} 3つ以上の軌道が異なる2つの波動関数についての行列要素は、高次の相互作用が導入されない限り消滅する。
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