数学的表現とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 09:14 UTC 版)

無リスク資産を含む場合の期待収益率と収益率の標準偏差を数式で表すと以下のようになる。自己の資金をリスク資産に 100 w p {\displaystyle 100w_{p}} パーセント投資し、無リスク資産に 100 w f {\displaystyle 100w_{\mathrm {f} }} パーセント投資するポートフォリオを考える。つまり、 w p + w f = 1 {\displaystyle w_{p}+w_{\mathrm {f} }=1} である。また無リスク資産の利子率を定数 r f {\displaystyle r_{\mathrm {f} }} とする。この時、期待収益率と収益率の標準偏差は以下のようになる。期待収益率 = w f r f + w p E ⁡ ( R p ) {\displaystyle w_{\mathrm {f} }r_{\mathrm {f} }+w_{p}\operatorname {E} (R_{p})\quad } 収益率の標準偏差 = w f 2 Var ⁡ ( r f ) + w p 2 Var ⁡ ( R p ) + 2 w f w p Cov ⁡ ( r f , R p ) {\displaystyle {\sqrt {w_{\mathrm {f} }^{2}\operatorname {Var} (r_{\mathrm {f} })+w_{p}^{2}\operatorname {Var} (R_{p})+2w_{\mathrm {f} }w_{p}\operatorname {Cov} (r_{\mathrm {f} },R_{p})}}} = w f 2 ⋅ 0 + w p 2 σ p 2 + 2 w f w p ⋅ 0 {\displaystyle {\sqrt {w_{\mathrm {f} }^{2}\cdot 0+w_{p}^{2}\sigma _{p}^{2}+2w_{\mathrm {f} }w_{p}\cdot 0}}} = w p σ p {\displaystyle w_{p}\sigma _{p}\quad } この関係をより一般化する。 w i , i = 1 , … , n {\displaystyle w_{i},i=1,\dots ,n} をリスク資産のみからなるポートフォリオとした時、自己の資金を無リスク資産に 100 ( 1 − α ) {\displaystyle 100(1-\alpha )} パーセント投資し、リスク資産 i {\displaystyle i} に対して 100 α w i {\displaystyle 100\alpha w_{i}} パーセント投資するポートフォリオを考えると、その期待収益率と収益率の標準偏差は以下のようになる。期待収益率 = ( 1 − α ) r f + α E ⁡ ( R p ) = ( 1 − α ) r f + α ∑ i = 1 n w i E ⁡ ( R i ) {\displaystyle (1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha \operatorname {E} (R_{p})=(1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha \sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})} 収益率の標準偏差 = α σ p = α ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i w j Cov ⁡ ( R i , R j ) {\displaystyle \alpha \sigma _{p}=\alpha {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (R_{i},R_{j})}}} 上記の数学的な表現から無リスク資産が存在する場合の投資家のポートフォリオ選択問題は以下のようになる。ただし、リスク資産 i {\displaystyle i} に対して自己の資金を 100 w i {\displaystyle 100w_{i}} パーセント投資し、無リスク資産に対して自己の資金を 100 ( 1 − ∑ i = 1 n w i ) {\displaystyle 100\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)} パーセント投資するものとする。 min σ p 2 {\displaystyle {\mbox{min }}\sigma _{p}^{2}} subject to ( 1 − ∑ i = 1 n w i ) r f + ∑ i = 1 n E ⁡ ( R i ) w i = μ p {\displaystyle {\mbox{subject to }}\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)r_{\mathrm {f} }+\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (R_{i})w_{i}=\mu _{p}} このポートフォリオ選択問題における解もまたマートンによって与えられていて、以下のようになる。 w i = μ p − r f C r f 2 − 2 A r f + B ( ∑ j = 1 n v i j ( E ⁡ ( R j ) − r f ) ) , i = 1 , … , n {\displaystyle w_{i}={\frac {\mu _{p}-r_{\mathrm {f} }}{Cr_{\mathrm {f} }^{2}-2Ar_{\mathrm {f} }+B}}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(\operatorname {E} (R_{j})-r_{\mathrm {f} })\right),\quad i=1,\dots ,n} ただし、定数 A , B , C , v i j , i , j = 1 , … , n {\displaystyle A,B,C,v_{ij},i,j=1,\dots ,n} は無リスク資産が存在しない場合のポートフォリオ選択問題における定数と同じである。さらにこのポートフォリオに投資した時、期待収益率と収益率の分散について以下の関係が成立する。 σ p 2 = ( μ p − r f ) 2 C r f 2 − 2 A r f + B ⋯ ( 2 ) {\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {(\mu _{p}-r_{\mathrm {f} })^{2}}{Cr_{\mathrm {f} }^{2}-2Ar_{\mathrm {f} }+B}}\quad \cdots (2)}

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 05:48 UTC 版)

「運動量」の記事における「数学的表現」の解説

運動量は、運動の第2法則において、その時間に対する変化の割合が力と等しい量として導入される。つまり、運動量 p はニュートンの運動方程式、 d p d t = F ( t ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)} を満たす。力 F はベクトル量であり、運動量もまたベクトル量である。また、定義から明らかなように、運動量は時刻 t の関数として表される量である。質点の運動量は、質点の速度に比例する。質点の運動量は、質点の速度を v と表し、比例係数を m とすると、 p = m v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}} で与えられる。ここで導入された比例係数 m は慣性質量 (inertial mass) と呼ばれ質点の速度の変化し難さを表す。運動量の変化量は力積であるが、運動の間、慣性質量が一定であるとすれば、速度の変化量は力積を慣性質量で割ったものとなる。従って、同じ大きさの力積に対しては、慣性質量が大きいほど速度の変化は小さいものとなる。

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/02/08 05:49 UTC 版)

「圧力勾配」の記事における「数学的表現」の解説

圧力がP = P (x , y , z )（x , y ,z はそれぞれ縦・横・鉛直方向に対応する）のように表されるとき、圧力勾配は以下の式で定義される。例えば、気圧1004 hPa のA地点と、そこから300 km 離れた気圧 1010 hPa のB地点との間の気圧勾配は0.02 hPa/km となる。BからAへの気圧勾配は、この式の符号を逆にすればよい。

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/16 05:19 UTC 版)

「古典派の二分法」の記事における「数学的表現」の解説

もしある経済で古典派の二分法が成立しているならば、block triangular formのヤコビ行列を用いて比較静学分析を用いることができる。すなわち、下記のように書くならば J d y = d x {\displaystyle \mathbf {J} dy=dx} ここで d x {\displaystyle dx} は内部ショック（例えば生産性や総需要、貨幣供給量などの変化）、そして d y {\displaystyle dy} は内部変数の変化（例えば産出量、雇用、物価水準、など）。また行列 J は次のような部分行列に分割することができる。 J = [ A 0 B C ] {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}A&0\\B&C\\\end{bmatrix}}} 言い換えれば、古典派の二分法が成り立つとき、部分行列 A {\displaystyle A} の逆行列を求めることで、すべての実質の変数の変化を計算することが可能である。よって、貨幣供給量や物価水準などのあらゆる名目の変数を分析から締め出すことができる。

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/26 16:23 UTC 版)

「最小偏移変調」の記事における「数学的表現」の解説

位相偏移変調された信号は次の式で表すことができる。 s ( t ) = a I ( t ) cos ⁡ ( π t 2 T ) cos ⁡ ( 2 π f c t ) − a Q ( t ) sin ⁡ ( π t 2 T ) sin ⁡ ( 2 π f c t ) {\displaystyle s(t)=a_{I}(t)\cos {\left({\frac {{\pi }t}{2T}}\right)}\cos {(2{\pi }f_{c}t)}-a_{Q}(t)\sin {\left({\frac {{\pi }t}{2T}}\right)}\sin {\left(2{\pi }f_{c}t\right)}} ここで a I ( t ) {\displaystyle a_{I}(t)} と a Q ( t ) {\displaystyle a_{Q}(t)} はそれぞれ偶数番目と奇数番目の情報を符号化したもので、幅が 2T の矩形パルスの並びである。三角関数の恒等式を使うと、これを位相および周波数の変調がより明らかな形式に書き換えることができる。 s ( t ) = cos ⁡ [ 2 π f c t + b k ( t ) π t 2 T + ϕ k ] {\displaystyle s(t)=\cos[2\pi f_{c}t+b_{k}(t){\frac {\pi t}{2T}}+\phi _{k}]} ここで bk (t) は、 a I ( t ) = a Q ( t ) {\displaystyle a_{I}(t)=a_{Q}(t)} なら +1、両者の符号が逆なら -1 であり、 ϕ k {\displaystyle \phi _{k}\quad } は a I ( t ) {\displaystyle a_{I}(t)} が 1 なら 0、そうでない場合は π {\displaystyle \pi } である。以上から、信号は周波数と位相を変調したもので、位相は連続かつ線形に変化する。

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/01 00:57 UTC 版)

「平均力ポテンシャル」の記事における「数学的表現」の解説

N粒子系のPMFは、粒子1...nを固定した任意の配置において粒子jに作用を及ぼす粒子n+1..Nの全配置における平均の力を与えるようなポテンシャルと解釈できる。 − ∇ j w ( n ) = ∫ e − β V ( − ∇ j V ) d q n + 1 . . . d q N ∫ e − β V d q n + 1 . . . . d q N , j = 1 , 2 , . . . . , n {\displaystyle -\nabla _{j}w^{(n)}\,=\,{\frac {\int e^{-\beta V}(-\nabla _{j}V)dq_{n+1}...dq_{N}}{\int e^{-\beta V}dq_{n+1}....dq_{N}}},~j=1,2,....,n} ここで − ∇ j w ( n ) {\displaystyle -\nabla _{j}w^{(n)}} は平均的な力、すなわち粒子jにおける「平均力」であり、 w ( n ) {\displaystyle w{(n)}} はいわゆる平均力ポテンシャルである。 n = 2 {\displaystyle n=2} のとき w ( 2 ) ( r ) {\displaystyle w^{(2)}(r)} は2粒子間の距離 r {\displaystyle r} を無限遠まで引き伸ばすのに必要な仕事に一致する。文献によれば PMFは動径分布関数 g ( r ) {\displaystyle g(r)} とも関係がある。 g ( r ) = e − β w ( 2 ) ( r ) {\displaystyle g(r)=e^{-\beta w^{(2)}(r)}}

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/11 09:45 UTC 版)

「抗力」の記事における「数学的表現」の解説

抗力は物体の相似比の2乗（あるいは投影面積）に比例する。また、レイノルズ数が小さいときは速度に、大きいときは流体の密度と流速の2乗に比例し、後述する抗力係数 CD を用いて以下のような数式モデルで表されるのが一般的である。このモデルは係数が異なるだけで揚力と同形式である。 D = 1 2 ρ V 2 S C D {\displaystyle D={1 \over 2}\rho V^{2}SC_{\mathrm {D} }} ここで D は、発生する抗力 ρ は流体の密度（海面高度の大気中なら、気温 15 ℃で 1.2250 kg/m3） V は物体と流体の相対速度 S は物体の代表面積

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/31 20:45 UTC 版)

「力積」の記事における「数学的表現」の解説

質量m の質点を考えると、時刻 tA, tB（時間は t A → t B {\displaystyle t_{\mathrm {A} }\to t_{\mathrm {B} }} と進む）におけるその質点の運動量の変化と質点に働く力の関係は、 I = m v B − m v A = ∫ t A t B F d t {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=m{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {A} }=\int _{t_{\mathrm {A} }}^{t_{\mathrm {B} }}{\boldsymbol {F}}dt} である。ここで、I を力積と言う。vAは時刻 tAでの質点の速度、vBは時刻 tBでの質点の速度、F は質点に働く力である。したがって速度v に対する質点の運動量はmvとなる。これは運動方程式、 m d v d t = d ( m v ) d t = F {\displaystyle m{d{\boldsymbol {v}} \over {dt}}={d(m{\boldsymbol {v}}) \over {dt}}={\boldsymbol {F}}} において、左右両辺を時間( t A → t B {\displaystyle t_{\mathrm {A} }\to t_{\mathrm {B} }} )について定積分すると最初の式が導かれる。

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数学的表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 06:58 UTC 版)

「螺旋」の記事における「数学的表現」の解説

媒介変数 θ {\displaystyle \theta \,} を使って次のように表せる。 a b > 0 {\displaystyle \,ab>0} では右手回りを表す。 x = a cos ⁡ θ {\displaystyle x=a\cos \theta \,} y = a sin ⁡ θ {\displaystyle y=a\sin \theta \,} z = b θ {\displaystyle z=b\theta \,} 円筒座標を使えば、もっと単純に表せる。 r = a {\displaystyle r=a\,} z = b θ {\displaystyle z=b\theta \,} 上記の設定の場合、曲率 κ {\displaystyle \kappa } 及び捩率 τ {\displaystyle \tau } はそれぞれ κ = a a 2 + b 2 τ = b a 2 + b 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={a \over a^{2}+b^{2}}\\\tau &={b \over a^{2}+b^{2}}\end{aligned}}} となる。