数学的言明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/20 15:52 UTC 版)
「レイチャウデューリ方程式」の記事における「数学的言明」の解説
ある時間的単位ベクトル場 X → {\displaystyle {\vec {X}}} が（積分曲線を通じて交わらない世界線の合同（英語版）として解釈できるが、測地線とは限らないものとして）与えられたとき、レイチャウデューリ方程式は以下のように書ける。 θ ˙ = − θ 2 3 − 2 σ 2 + 2 ω 2 − E [ X → ] a a + X ˙ a ; a {\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}} ここで、 σ 2 = 1 2 σ m n σ m n , ω 2 = 1 2 ω m n ω m n {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2}}\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\omega _{mn}\,\omega ^{mn}} は、それぞれ剪断応力テンソル σ a b = θ a b − 1 3 θ h a b {\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}} および渦度テンソル ω a b = h m a h n b X [ m ; n ] {\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}} の（非負の）二次不変量である。また、 θ a b = h m a h n b X ( m ; n ) {\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}} は膨張テンソル、 θ {\displaystyle \theta } はそのトレースで膨張スカラーと呼ばれるもの、そして h a b = g a b + X a X b {\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}} は X → {\displaystyle {\vec {X}}} に直交する超平面への射影テンソルである。また、ドットは合同内の世界線の固有時による微分を表わす。最後に、潮汐テンソル（英語版） E [ X → ] a b {\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}} のトレースは次のようにも書ける。 E [ X → ] a a = R m n X m X n {\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}} この量はときに「レイチャウデューリスカラー」と呼ばれることもある。
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