数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 08:09 UTC 版)
「ホワイトハースト・アンド・サンの日時計」の記事における「数学的説明」の解説
1〜6時それぞれについて、上の公式が計算される。例えば午後3時ならば公式に 53.03 と 3 を代入する。この結果は次のようになる。 ベルパー（北緯53.03）における目盛1時 11.791779 2時 24.219060 3時 37.922412 4時 53.460042 5時 71.020970 6時 90.000000 正午前についても全く同じ手順である。盤面は左右対称なので、片面は上の手順で求めたもう片面の鏡像となる。同様の手法で、半時間および分の線を計算できるだろう。正午がまさに南北方向の線上に設定され、5分54秒（グリニッジとベルパーの時差分）片方へずれていない点から、この日時計はグリニッジの時刻でなく、ベルパーの時刻を表していることが分かる。
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数学的説明
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yとxを定常性を持つ時系列とする。xからyへのグレンジャー因果性がないという帰無仮説を検定するために、最初に、yの単変量自己回帰モデルに含める適切な（異なる時点の）yの値の数を決める： y t = a 0 + a 1 y t − 1 + a 2 y t − 2 + ⋯ + a m y t − m + error t . {\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{m}y_{t-m}+{\text{error}}_{t}.} 次に、xの過去の値を含めることで、自己回帰モデルを拡張する。 y t = a 0 + a 1 y t − 1 + a 2 y t − 2 + ⋯ + a m y t − m + b p x t − p + ⋯ + b q x t − q + error t . {\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{m}y_{t-m}+b_{p}x_{t-p}+\cdots +b_{q}x_{t-q}+{\text{error}}_{t}.} この回帰モデルには、t統計量に従って個別に有意であることが示されたxの過去の値をすべて含める。ただし、xの過去の値が集合的に回帰モデルの説明力を強めることが、F検定（帰無仮説は「xによって集合的に説明力は追加されない」）で示された場合に限る。上記の拡張回帰モデルの表記では、xが有意となる最小の時間差がp、最大の時間差がqとなる。 xからyへのグレンジャー因果性がないという帰無仮説が採択されるのは、回帰モデルの中に有意なxの過去の値が残らなかった場合のみである。
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数学的説明
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兄弟姉妹の生殖の成功に対するシブリサイドの費用と効果は、代数方程式に分解することができる。 M {\displaystyle M} が子供達全員への親による投資の水準であり、絶対最大価値は MH(0 ≤M ≤M"H)."である。親による投資は M {\displaystyle M} であり、親による投資の単位を(PI)とすると、現在の仲間には将来の繁殖の成功が期待できる値は f ( M ) {\displaystyle f(M)} となり、次の式で表される。 f H {\displaystyle fH} if M ≤ 0 f(M)= { fH[1-(M/MH)^θ ] if 0 < M < M H {\displaystyle 0<M
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数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/18 09:11 UTC 版)
マネーサプライ（数式では M {\displaystyle M} と表記）は公衆が保有する通貨（currency、数式では C {\displaystyle C} と表記）と預金（deposit、数式では D {\displaystyle D} と表記）に分解される。また、中央銀行がコントロールできるマネタリーベース（数式では H {\displaystyle H} と表記）は公衆が保有する通貨と銀行が中央銀行に預金する準備金（reserve、数式では R {\displaystyle R} と表記）に分解される。つまり、 { M = C + D . . . ( 1 ) H = C + R . . . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}M=C+D...(1)\\H=C+R...(2)\end{cases}}} となる。ここで(1)式を(2)式で割り、その式の分母・分子を D {\displaystyle D} で割ると、 M H = C + D C + R = C D + 1 C D + R D . . . ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {M}{H}}&={\frac {C+D}{C+R}}\\&={\frac {{\frac {C}{D}}+1}{{\frac {C}{D}}+{\frac {R}{D}}}}...(3)\\\end{aligned}}} となる。(3)式の分母・分子にある C D {\displaystyle {\frac {C}{D}}} は現金・預金比率を表し、分母にある R D {\displaystyle {\frac {R}{D}}} は準備・預金比率を表す。(3)式に H {\displaystyle H} を乗じると、 M = C D + 1 C D + R D H = m H . . . ( 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}M&={\frac {{\frac {C}{D}}+1}{{\frac {C}{D}}+{\frac {R}{D}}}}H\\&=mH...(4)\\\end{aligned}}} となり、(4)式の右辺にある H {\displaystyle H} の係数 m {\displaystyle m} が貨幣乗数であり、マネーサプライは貨幣乗数とマネタリーベースの積の形で表現される。
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数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/02 19:49 UTC 版)
「海岸線のパラドックス」の記事における「数学的説明」の解説
長さの基本概念はユークリッド距離に由来する。ユークリッド幾何学では、直線は2点間の最短距離を表す。 この線はただ1つの長さを持つ。球面上では、これは大円距離に置き換えられる。大円距離は、両方の端点と球の中心を含む平面上にある球面の曲線に沿って測定される。弧長はより複雑だが計算可能である。定規で測定する場合、図のように点を結ぶ直線の合計を求めることで曲線の長さを近似できる。 数本の直線を使用して曲線の線長を近似すると、実際の長さよりも短い近似値が導かれる。より短い（より多数の）線を用いると、合計は曲線の実際の長さに近づいていく。この長さの正確な値は微積分を使って見つけることができる。下のアニメーションは、滑らかな曲線に正確な長さを割り当てる方法を示している。 ただし、この方法ですべての曲線を測定できるわけではない。フラクタルは、定義上、複雑さが測定スケールによって変化する曲線である。 滑らかな曲線の近似値は、測定精度が上がるにつれて単一の値に収束する傾向があるが、フラクタルの測定値は収束しない。 このシェルピンスキー曲線（英語版）（空間充填曲線の一種）は、同じパターンをより小さなスケールで繰り返すもので、線長が増大し続ける。無限に分割可能な幾何空間を仮定した場合、その長さは発散する傾向にある。同時に、曲線によって閉じられた面積は厳密な値に収束する。島の面積がその海岸線より容易に計算可能なのと同様である。 フラクタル曲線の長さは常に無限大に発散するため、無限またはほぼ無限の分解能で海岸線を測定する場合、海岸線の長さは無限大になる。ただし、この図は空間が無限小の部分に分割できるという仮定に基づいている。ユークリッド幾何学の根底にあり、測定において有用なモデルとしての役割を果たすこの仮定的真理値は、哲学的推論の産物であり、原子レベル（およそナノメートルのスケール）の「空間」と「距離」の変化する現実を反映するかは分からない 。たとえば、原子よりも桁違いに小さいプランク長が、宇宙にありうる最小の測定可能単位として提案されている。 海岸線はマンデルブロ集合のような理想的フラクタルよりも不明確である。前者は統計的にランダムにパターンを生み出す様々な自然界の出来事によって形成されるのに対し、後者は単純かつ定型の配列を反復することで生成されるためである。
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数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 01:19 UTC 版)
宇宙物理学では、現在のハッブル体積は、地球を中心とした共動半径 c / H 0 {\displaystyle c/H_{0}} の球面の内側の領域である。 c {\displaystyle c} は光速、 H 0 {\displaystyle H_{0}} は"現在"のハッブル定数である。一般に、ハッブル体積という言葉は、 4 π ( c / H 0 ) 3 / 3 {\displaystyle 4\pi (c/H_{0})^{3}/3} 程度の体積からなる任意の空間を指す。
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数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 03:52 UTC 版)
X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} をいずれも標準正規分布（平均は 0 {\displaystyle 0} 、分散は 1 {\displaystyle 1} ）に従うランダム変数とし、これらの相関係数を r {\displaystyle r} とする。 | r | ≤ 1 {\displaystyle \left|r\right|\leq 1} である。正規分布の性質から、 X {\displaystyle X} の値が決まっている場合の Y {\displaystyle Y} の期待値は X {\displaystyle X} に比例する、すなわち E [ Y | X ] = r X {\displaystyle E[Y|X]=rX} である。ここで | r | < 1 {\displaystyle \left|r\right|<1} であるから、 Y {\displaystyle Y} の期待値は X {\displaystyle X} の観察値よりも 0 {\displaystyle 0} に近い。一般の確率分布についても同様の結果が得られる。 これは、2変数の相関が小さくなる（ | r | {\displaystyle \left|r\right|} が小さくなる）ほど、平均への回帰は顕著になる、ということを示している。つまり現在、相関を分析する方法として回帰分析、線形回帰などという言葉が用いられるが、元来の意味での「回帰」は、むしろ「相関が低い」ことを表している。
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数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 06:04 UTC 版)
重力ターン軌道の最も単純なものは、空気抵抗を無視して、均一な重力場の下で加速する質点により記述される。推力 F → {\displaystyle {\vec {F}}} は、大きさと方向が時間の関数として変化するものとする。これらの仮定の下で、次の微分運動方程式が得られる。 m d v → d t = F → − m g k ^ . {\displaystyle m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}}-mg{\hat {k}}\;.} ここで、 k ^ {\displaystyle {\hat {k}}} は垂直方向の単位ベクトル、 m {\displaystyle m} は機体質量の瞬時値である。推力ベクトルがを速度ベクトルと同じ向きを向くという拘束条件の下では、運動方程式を v → {\displaystyle {\vec {v}}} に平行な成分と v → {\displaystyle {\vec {v}}} に垂直な成分とに分けることで次の連立方程式を得る。 v ˙ = g ( n − cos β ) , v β ˙ = g sin β . {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&=g(n-\cos {\beta })\;,\\v{\dot {\beta }}&=g\sin {\beta }\;.\\\end{aligned}}} ここで、その時刻における推力重量比 n = F / m g {\displaystyle n=F/mg} および速度ベクトルと鉛直線との成す角度 β = arccos ( τ 1 → ⋅ k ^ ) {\displaystyle \beta =\arccos {({\vec {\tau _{1}}}\cdot {\hat {k}})}} とを用いた。この連立方程式を解けば軌道が得られる。ただし、 n {\displaystyle n} が全行程にわたって定数となる最も単純な場合を除いて、この連立方程式は解析的には解けず、数値積分を用いる必要がある。
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数学的説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/23 13:23 UTC 版)
より数学的に厳密には、リニアプラニメータの動作は次式の成分を持つ (x,y) 平面上のベクトル場 N → ( x , y ) = ( b − y , x ) {\displaystyle {\vec {N}}(x,y)=(b-y,x)} にグリーンの定理を適用することで説明できる。ここで bはエルボ E の y 座標である。 このベクトル場 N → {\displaystyle {\vec {N}}} は測定アーム EM に垂直である。つまり E M → ⋅ N → = x N x + ( y − b ) N y = 0. {\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot {\vec {N}}=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0.} また N → {\displaystyle {\vec {N}}} の大きさ（ノルム）は一定でありアームの長さ m に等しい。つまり ‖ N ‖ = ( b − y ) 2 + x 2 = m . {\displaystyle \|N\|={\sqrt {(b-y)^{2}+x^{2}}}=m.} したがってグリーンの定理を用いて ∮ C ( N x d x + N y d y ) = ∬ S ( ∂ N y ∂ x − ∂ N x ∂ y ) d x d y = ∬ S ( ∂ x ∂ x − ∂ ( b − y ) ∂ y ) d x d y = ∬ S d x d y = A {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}(N_{x}\mathrm {d} x+N_{y}\mathrm {d} y)&=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (b-y)}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\iint _{S}\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=A\end{aligned}}} となる。ここで ∂ ∂ y ( y − b ) = ∂ ∂ y m 2 − x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}(y-b)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0} を用いた。 したがって上式の左辺は輪郭で囲まれた面積 A に等しい訳だが、これはホイールで測定された距離に比例する。比例係数は測定アームの長さ m = ‖ N ‖ {\displaystyle m=\|N\|} である。 リニアプラニメータはその測定アームに垂直な動きのみを、あるいは N x d x + N y d y ≠ 0 {\displaystyle N_{x}\mathrm {d} x+N_{y}\mathrm {d} y\neq 0} のときのみ記録を行っていることに注意する。上記の導出にはこのことが用いられている。この量を閉曲線 C で積分しグリーンの定理を用いることで面積が導出される。
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