収束定理[訳語疑問点]
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/20 15:52 UTC 版)
「レイチャウデューリ方程式」の記事における「収束定理[訳語疑問点]」の解説
ある時空領域で強いエネルギー条件（英語版）が成り立つとし、 X → {\displaystyle {\vec {X}}} を渦度の無い測地単位ベクトル場であり hypersurface orthogonal[訳語疑問点] とする。例えば、この状況は宇宙論的モデルにおけるアインシュタイン方程式の厳密解のひとつ、ちり解でちりの世界線を研究する際に現われる（ただし、渦度をゼロとするため世界線が互いに巻き付くことはないものとする）。 この場合、レイチャウデューリ方程式は以下のようになる。 θ ˙ = − θ 2 3 − 2 σ 2 − E [ X → ] a a {\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}} ここで、右辺は必ず負であるから、膨張テンソルが初期値は正であったとしても（最初はちりのボールが体積を増していたとしても）、やがては負にならなければならない（ちりのボールは潰れなければならない）。 実際、この状況では次の不等式が成り立つ。 θ ˙ ≤ − θ 2 3 {\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}} これを固有時 τ {\displaystyle \tau } について積分すると、以下を得る。 1 θ ≥ 1 θ 0 + τ 3 {\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}} もし、膨張スカラーの初期値 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} が負ならば、遅くとも固有時 − 3 / θ 0 {\displaystyle -3/\theta _{0}} の後に膨張スカラーは負の無限大に発散し、測地線はコースティック（英語版）[訳語疑問点]に収束する。これは必ずしも曲率特異点が生じることを意味するわけではないが、ちりの運動の数学的説明が破綻することは意味する。
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