収束値の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/27 07:08 UTC 版)
「ゴールドバッハ・オイラーの定理」の記事における「収束値の証明」の解説
ゴールドバッハによる証明は以下のように調和級数を用いたものである。まず H ∞ {\displaystyle H_{\infty }} を次のように定義する。 H ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + . . . ( 1 ) {\displaystyle H_{\infty }=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...\quad (1)} 1 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . {\displaystyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+...} H ∞ − 1 = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 9 + . . . ( 2 ) {\displaystyle H_{\infty }-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+...\quad (2)} 1 2 = 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+...} H ∞ − 1 − 1 2 = 1 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 10 + . . . {\displaystyle H_{\infty }-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+...} H ∞ − 1 − 1 2 − 1 4 − 1 5 − 1 6 − 1 9 − . . . = 1 {\displaystyle H_{\infty }-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-...=1} H ∞ − 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 9 + . . . ( 3 ) {\displaystyle H_{\infty }-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+...\quad (3)} 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + . . . {\displaystyle 1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+...} ただし調和級数 H ∞ {\displaystyle H_{\infty }} は発散するので、この証明は現代的な観点では厳密なものとはいえない。 厳密な証明を得るには、次のように有限部分和をとる。 H N = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + . . . + 1 N {\displaystyle H_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...+{\frac {1}{N}}\quad } S N = ∑ P ≤ N + 1 1 P − 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + . . . , {\displaystyle S_{N}=\sum _{P\leq N+1}{\frac {1}{P-1}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+...,\quad } T N = ∑ m ≤ N + 1 1 m − 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 9 + . . . {\displaystyle T_{N}=\sum _{m\leq N+1}{\frac {1}{m-1}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+...\quad } H N = S N + T N ⋯ ( 4 ) {\displaystyle H_{N}=S_{N}+T_{N}\quad \cdots (4)} が成り立つ。 r ( n ) {\displaystyle r(n)} を n = r k {\displaystyle n=r^{k}} となる最小の r と定めると n > 1 {\displaystyle n>1} のとき r ( n ) {\displaystyle r(n)} は累乗数ではありえず、かつ一意的に定まるから 1 m − 1 = 1 m + 1 m 2 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{m-1}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{m^{2}}}+...\quad } T N − 1 = ∑ 1 < r ( n ) ≤ N 1 n = ∑ 1 < n ≤ N 1 n + ∑ n > N , r ( n ) ≤ N 1 n {\displaystyle T_{N-1}=\sum _{1<r(n)\leq N}{\frac {1}{n}}=\sum _{1
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