収束性による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:28 UTC 版)
位相空間の圏は X 上のフィルターに関する収束関係を通じて定義することもできる。集合 X の各点 x に対し、x を集積点とするフィルターの集合を与えると、これらの集合系から X の位相を復元することができる。たとえば、X の部分集合 A が閉であることは、フィルターF と A との交わりが A 上のフィルターであるならば、 A は F の極限点を全て含むという条件によって特徴づけることができる。さらに、位相空間のあいだの写像の連続性は点 x に収束しているフィルターの像フィルターが x の像に収束していること、として特徴づけることができる。つまりこれは、フィルターの収束性によっても位相的概念の基礎づけができることを示すものである。 同様に、圏 Top は有向点族（ネット）の収束を通じても記述できる。フィルターに対すると同様、この定義はネットの収束を位相的概念の基礎としてもよいことを示している。この定義から上記の閉集合系による位相の定義を回復するには、集合 A が閉であることを、A 上のネット (xα) が任意に与えられるとき A は (xα) の極限点を全て含むことと定めればよい。写像の連続性に関してもフィルターの場合と同様にして収束しているネットの像が再び収束先の像に収束することとして特徴づけることができる。
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